$a,\ b$は定数で$b>0$とする．$2$つの$2$次方程式

$x^2+2ax-a^2+b=0 \qquad \cdots①$
$\displaystyle x^2+ax+a+\frac{5}{4}=0 \qquad \;\!\cdots②$

について，以下の問いに答えなさい．

(1)$b=2$とするとき，$2$つの$2$次方程式$①$と$②$がともに実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)$\displaystyle b=\frac{1}{2}$とするとき，$2$つの$2$次方程式$①$と$②$のどちらか一方だけが実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．
(3)$2$次方程式$①$が実数解をもち，$2$次方程式$②$が実数解をもたないような$a$の値の範囲を$b$を用いて表しなさい．

$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$において，曲線$y=a \sin x$（$a$は定数）を$C_1$，曲線$y=\tan x$を$C_2$とする．$a>1$であるとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

複素数平面上の点$\mathrm{P}_0, \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots$を表す複素数をそれぞれ$z_0,\ z_1,\ z_2,\ \cdots$とする．原点$\mathrm{O}$および整数$k (k \geqq 0)$に対して$\displaystyle \angle \mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}=\frac{\pi}{2}$を満たす．また，$\angle \mathrm{P}_k \mathrm{OP}_{k+1}=\theta$とする．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$z_{k+1}$を$z_k$で表せ．
(2)$z_0=a$（$a$は正の実数）であるとき，三角形$\mathrm{OP}_k \mathrm{P}_{k+1}$の面積$s_k$を$a,\ \theta$で表せ．
(3)三角形の面積の和$\displaystyle A_n=\sum_{k=0}^{n-1}s_k$を$a,\ \theta$で表せ．

曲線$C:y=x^3-6x^2+9x$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(2)定数$a$に対し，直線$\ell:y=ax$が曲線$C$と$x=2$で交点をもつとき，$a$の値と全ての交点の座標を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)直線$\ell$が曲線$C$と$x \geqq 0$の範囲で異なる$3$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$次関数$f(x)=-x^2+ax$を考える．ただし，$a$は正の定数である．以下の問題に答えよ．

(1)$y_1=-x^2+x$，$y_2=-x^2+2x$とする．$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．また，次の式を満たす$x$の値を求めよ．
\[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2)積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ．また，この値が最小となるときの$a$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする．関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$，$\mathrm{QQ}^\prime$とする．ただし，$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき，$p$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x=1+\sqrt{2}$のとき，次の式の値を求めよ．

(i) $x^2-2x-1$
(ii) $x^4-4x^3+7x^2-6x+2$

(2)$A=\{ x \;|\; 2<x \leqq 9 \}$，$B=\{ x \;|\; k-4 \leqq x \leqq k+6 \}$（$k$は定数）とするとき，$A \subset B$となる$k$の値の範囲を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が$(x+1)^2+(y-2)^2=2$を満たすとき，$x+y$の最小値と最大値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^2(2x^2-x-2)e^x$がある．次の問いに答えなさい．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかきなさい．ただし，凹凸は調べなくてよい．また，$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=0$であることは断りなしに用いてもよい．
(2)$a$を定数とする．$2$つの曲線$y=2x^4-x^3-2x^2$と$y=ae^{-x}$の共有点の数が$3$個であるための$a$の条件を求めなさい．

座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ 1)$を中心とし，原点$\mathrm{O}$を通る円を$C_1$とする．$k$を正の定数として，曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x} (x>0)$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$点で交わるとし，その交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，直線$\mathrm{PQ}$は$x$軸に平行であるとする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とし，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$とする．次の問いに答えよ．

(1)$k,\ q,\ r$の値を求めよ．
(2)曲線$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$x=1+\sqrt{2} \sin \theta$とおくことにより，定積分$\displaystyle \int_r^q \sqrt{2-(x-1)^2} \, dx$の値を求めよ．
(4)円$C_1$の原点$\mathrm{O}$を含まない弧$\mathrm{QR}$と曲線$C_2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は初項が$4$で，$A,\ B$をある定数として
\[ a_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で与えられている．数列$\{b_n\}$は等比数列であり，関係式
\[ a_nb_n-a_n+b_n+3=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．このとき下記の設問に答えよ．

(1)$A,\ B$を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

関数$y=\log_3 x$とその逆関数$y=3^x$のグラフが，直線$y=-x+s$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}(t,\ \log_3 t)$，$\mathrm{Q}(u,\ 3^u)$とする．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点の座標は$\displaystyle \left( \frac{s}{2},\ \frac{s}{2} \right)$であることを示せ．
(2)$s,\ t,\ u$は$s=t+u$，$u=\log_3 t$を満たすことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 3} \frac{su-k}{t-3}$が有限な値となるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．