$a$を定数とし，$2$次関数$y=x^2-2(a+1)x+10a-15$のグラフを$C$とする．次の各問いに答えなさい．

(1)グラフ$C$が$x$軸に接するとき，$a$の値を求めなさい．
(2)$(1)$で求めた関数の頂点の座標を求めなさい．
(3)$(1)$で求めた$2$次関数のグラフ$C$を点$\mathrm{A}(1,\ 2)$に関して対称移動したグラフの方程式を求めなさい．

$x$の方程式$x^4+x^2-2Ax-A-1=0$を考える．ただし$A$は正の定数である．次の問いに答えなさい．

(1)この方程式の解$x$は，$(x^2+1)^2=x^2+\mkakko{$\mathrm{a}$}Ax+\mkakko{$\mathrm{b}$}A+\mkakko{$\mathrm{c}$}$を満たす．
(2)方程式$x^2+\mkakko{$\mathrm{a}$}Ax+\mkakko{$\mathrm{b}$}A+\mkakko{$\mathrm{c}$}=0$が重解をもつのは，$A=\mkakko{$\mathrm{d}$}$のときである．
(3)$A=\mkakko{$\mathrm{d}$}$のとき，方程式$x^4+x^2-2Ax-A-1=0$を満たす実数$x$を求めなさい．


$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{e}$} \pm \sqrt{\mkakko{$\mathrm{f}$}}}{\mkakko{$\mathrm{g}$}}$

$2$次方程式$x^2+(2a-2)x+2a+6=0$が次の条件をみたすとき，それぞれ定数$a$の値の範囲を求めよ．

(1)異なる$2$つの実数解が$x>0$の範囲にある．
(2)$-6<x<0$の範囲に少なくとも$1$つの実数解がある．

関数$f(x)=-x^3+ax^2+bx+1$が，$x=-1-\sqrt{2}$と$x=-1+\sqrt{2}$で極値をとるとする．次の各問に答えよ．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフをかけ．

次の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=10$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{5}$であり，この三角形は円$\mathrm{O}$に内接している．また点$\mathrm{A}$における円$\mathrm{O}$の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{20}{3}$である．次の問いに答えなさい．

(i) $\mathrm{DC}=\frac{\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}}{\mkakko{$\mathrm{c}$}}$，$\mathrm{AB}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}$である．
(ii) 円$\mathrm{O}$の半径は$\mkakko{$\mathrm{f}$}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}}{\mkakko{$\mathrm{i}$}}$である．

(2)実数$x$に対して$3$つの条件$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$がある．ただし$a$は定数である．

$\mathrm{P}:2x-5 \geqq x+6$
$\mathrm{Q}:x^2-(2a-1)x+a^2-a-12 \leqq 0$
$\mathrm{R}:13 \leqq x \leqq 16$

次の問いに答えなさい．

(i) $\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \leqq a$であり，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \leqq a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$} \mkakko{$\mathrm{o}$}$である．
(ii) $(ⅰ)$より，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件で，かつ$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となることを満たす定数$a$のうち整数は，小さい順に$\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}$，$\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}$，$\mkakko{$\mathrm{t}$} \mkakko{$\mathrm{u}$}$である．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解を持つように，定数$k$の範囲を定めよ．
(2)辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AC}=5$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\cos A$の値を求めよ．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，三角形$\mathrm{ABD}$の外接円の直径を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BP}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CQ}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CR}}$を$t$の式で表せ．また三角形$\mathrm{BQR}$と三角形$\mathrm{CQP}$の面積が等しくなるように$t$の値を定めよ．

$i$を虚数単位とする．異なる$3$つの複素数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の間に等式$\gamma-i \beta=(1-i) \alpha$が成り立つものとする．さらに，$\alpha$は方程式$|\alpha-2|=|\alpha-2 \sqrt{3|i}$を満たすとする．複素数平面において$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．

(1)$\angle \mathrm{BAC}={[アイ]}^\circ$，$\angle \mathrm{ABC}={[ウエ]}^\circ$，$\angle \mathrm{ACB}={[オカ]}^\circ$である．

(2)点$\mathrm{A}$が虚軸上にあるとき，$\displaystyle \alpha=\frac{[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]}i$である．さらに点$\mathrm{B}$が実軸上にあるとすると，点$\mathrm{C}$は方程式
\[ |\gamma|=|\gamma-\delta| \quad \text{（ただし$\delta$は$0$と異なる定数）} \]
を満たす．このとき$\displaystyle \delta=\frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$である．

(3)点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$がそれぞれ，実軸上，虚軸上にあるとき
\[ \alpha=[ス]-\sqrt{[セ]}+\left( [ソタ]+\sqrt{[チ]} \right) i \]
である．さらに，$\gamma$が方程式$|\gamma-2|=|\gamma-2 \sqrt{3|i}$を満たすとき
\[ \beta=\frac{[ツ]-[テ] \sqrt{[ト]}}{[ナ]} \]
である．

以下の問いに答えよ．

(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々

$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$

で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式

$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$

で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [　] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．

$a$と$b$を$0 \leqq a \leqq 1$，$0 \leqq b<1$をみたす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}({a_n}^2+b) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$c=1-\sqrt{1-b}$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)$0 \leqq a_n \leqq 1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$が成り立つことを示しなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=c$が成り立つことを示しなさい．

関数$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$のグラフと$x$軸によって囲まれた部分を$A$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)等式$\displaystyle \frac{1-x^2}{1+x^2}=a+\frac{b}{1+x^2}$が，$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b$を定めると，$a=[イ]$，$b=[ロ]$である．
(2)$A$の面積は$[ハ]$である．
(3)$A$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$[ニ]$である．