「外接」について
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国立 東京工業大学 2016年 第3問水平な平面$\alpha$の上に半径$r_1$の球$S_1$と半径$r_2$の球$S_2$が乗っており，$S_1$と$S_2$は外接している．
(1)$S_1,\ S_2$が$\alpha$と接する点をそれぞれ$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$とする．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを求めよ．
(2)$\alpha$の上に乗っており，$S_1$と$S_2$の両方に外接している球すべてを考える．それらの球と$\alpha$の接点は，$1$つの円の上または$1$つの直線の上にあることを示せ．
(1)$S_1,\ S_2$が$\alpha$と接する点をそれぞれ$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$とする．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを求めよ．
(2)$\alpha$の上に乗っており，$S_1$と$S_2$の両方に外接している球すべてを考える．それらの球と$\alpha$の接点は，$1$つの円の上または$1$つの直線の上にあることを示せ．
国立 横浜国立大学 2016年 第5問$xy$平面上に楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$がある．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(a,\ b)$を通る$C$の接線が$2$本あり，それらが直交するとき，$a,\ b$がみたす条件を求めよ．
(2)$C$に外接する長方形のうち，$x$座標が$1$で$y$座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}(a,\ b)$を通る$C$の接線が$2$本あり，それらが直交するとき，$a,\ b$がみたす条件を求めよ．
(2)$C$に外接する長方形のうち，$x$座標が$1$で$y$座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第4問座標平面上の放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$に対し，次の問に答えよ．
(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．
(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．
国立 香川大学 2016年 第4問座標平面上の放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$に対し，次の問に答えよ．
(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．
(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．
国立 九州工業大学 2016年 第2問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．円$C_1$に外接しながら，半径$1$の円$C_2$がすべることなく回転する．円$C_2$の中心を$\mathrm{P}$とし，円$C_2$上の点$\mathrm{Q}$は最初，$x$軸上の点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあるものとする．半直線$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}$からの距離が$2$の点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とする．$C_2$が回転して$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき，点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．曲線$C$の概形を図$1$に示す．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする．直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を，$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ．
(6)曲線$C$と$x$軸，$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする．直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を，$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(4)曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ．
(6)曲線$C$と$x$軸，$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．
(1)円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし，中心が原点で，円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．このとき円$C_2$の半径は$[ケ]$である．また$2$つの円$C_1$，$C_2$の共有点の座標は$[コ]$である．
(2)不等式$3^{2x}+1<3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと，$[サ]<x<[シ]$である．
(3)自然数$n$に対して$m \leqq \log_2 n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする．このとき$a_{2016}=[ス]$である．また，自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$[セ]$個あり，そのような$n$のうちで最大のものは$n=[ソ]$である．さらに$\displaystyle \sum_{n=1}^{2016}a_n=[タ]$である．
（ヒント：$2^{10}=1024$）
(1)円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし，中心が原点で，円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．このとき円$C_2$の半径は$[ケ]$である．また$2$つの円$C_1$，$C_2$の共有点の座標は$[コ]$である．
(2)不等式$3^{2x}+1<3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと，$[サ]<x<[シ]$である．
(3)自然数$n$に対して$m \leqq \log_2 n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする．このとき$a_{2016}=[ス]$である．また，自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$[セ]$個あり，そのような$n$のうちで最大のものは$n=[ソ]$である．さらに$\displaystyle \sum_{n=1}^{2016}a_n=[タ]$である．
（ヒント：$2^{10}=1024$）
私立 京都女子大学 2016年 第2問点$\mathrm{A}$を中心とする半径$3$の円$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円$\mathrm{B}$，点$\mathrm{C}$を中心とする半径$5$の円$\mathrm{C}$の$3$つの円が互いに外接している．円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$との接点を$\mathrm{P}$，円$\mathrm{B}$と円$\mathrm{C}$との接点を$\mathrm{Q}$，円$\mathrm{C}$と円$\mathrm{A}$との接点を$\mathrm{R}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\cos \theta$の値と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{A}$の接線と点$\mathrm{R}$における円$\mathrm{A}$の接線との交点を$\mathrm{I}$とおく．直線$\mathrm{AI}$は$\angle \mathrm{PAR}$を二等分していることを証明せよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円の半径を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\cos \theta$の値と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{A}$の接線と点$\mathrm{R}$における円$\mathrm{A}$の接線との交点を$\mathrm{I}$とおく．直線$\mathrm{AI}$は$\angle \mathrm{PAR}$を二等分していることを証明せよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円の半径を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第2問図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第2問図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第2問図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．