点$\mathrm{A}$を中心とする半径$3$の円$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円$\mathrm{B}$，点$\mathrm{C}$を中心とする半径$5$の円$\mathrm{C}$の$3$つの円が互いに外接している．円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$との接点を$\mathrm{P}$，円$\mathrm{B}$と円$\mathrm{C}$との接点を$\mathrm{Q}$，円$\mathrm{C}$と円$\mathrm{A}$との接点を$\mathrm{R}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1) $\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．このとき，$\cos \theta$の値と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2) 点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{A}$の接線と点$\mathrm{R}$における円$\mathrm{A}$の接線との交点を$\mathrm{I}$とおく．直線$\mathrm{AI}$は$\angle \mathrm{PAR}$を二等分していることを証明せよ．
(3) $3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円の半径を求めよ．