「垂線」について
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国立 埼玉大学 2016年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．また，四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第2問辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して，平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 宮城教育大学 2016年 第2問辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して，平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 宮城教育大学 2016年 第2問辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して，平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 福島大学 2016年 第3問次の問いに答えなさい．
(1)次の極限を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)}) \]
(2)複素数平面上の$2$点$\alpha=4-2i,\ \beta=3-3i$に対して，次の問いに答えなさい．
(i) 点$\alpha$を点$\beta$の周りに${30}^\circ$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めなさい．
(ii) $\beta^6$の値を求めなさい．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$があり$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．
(i) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．
(ii) 線分$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい．
(1)次の極限を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)}) \]
(2)複素数平面上の$2$点$\alpha=4-2i,\ \beta=3-3i$に対して，次の問いに答えなさい．
(i) 点$\alpha$を点$\beta$の周りに${30}^\circ$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めなさい．
(ii) $\beta^6$の値を求めなさい．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$があり$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．
(i) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．
(ii) 線分$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい．
国立 宮崎大学 2016年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=5:4$とする．辺$\mathrm{BC}$の点$\mathrm{C}$側の延長上に，$\mathrm{CA}=\mathrm{CD}$となる点$\mathrm{D}$をとる．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AD}$に下した垂線を$\mathrm{BF}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{EF}=\mathrm{EC}$を示せ．
(2)面積比$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{CEF}$を求めよ．
(1)$\mathrm{EF}=\mathrm{EC}$を示せ．
(2)面積比$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{CEF}$を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=5:4$とする．辺$\mathrm{BC}$の点$\mathrm{C}$側の延長上に，$\mathrm{CA}=\mathrm{CD}$となる点$\mathrm{D}$をとる．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AD}$に下した垂線を$\mathrm{BF}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{EF}=\mathrm{EC}$を示せ．
(2)面積比$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{CEF}$を求めよ．
(1)$\mathrm{EF}=\mathrm{EC}$を示せ．
(2)面積比$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{CEF}$を求めよ．
国立 奈良女子大学 2016年 第1問四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=5$，$\mathrm{BC}=\mathrm{BD}=4$，$\mathrm{CD}=6$であるとする．次の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
(3)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AM}$へ下ろした垂線と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，線分$\mathrm{BH}$の長さを求めよ．
(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
(3)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AM}$へ下ろした垂線と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，線分$\mathrm{BH}$の長さを求めよ．
国立 福岡教育大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき
\[ \cos 2x+\cos x+1>0 \]
を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$a^2b-3a^2+5b=21$を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ．
(3)正方形の各辺を$n$等分した点から向かい合う辺に垂線を下ろす．このとき，正方形の$4$つの辺とこれらの垂線を利用してできる長方形のうち，正方形でないものの個数を$n$を用いて表せ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき
\[ \cos 2x+\cos x+1>0 \]
を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$a^2b-3a^2+5b=21$を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ．
(3)正方形の各辺を$n$等分した点から向かい合う辺に垂線を下ろす．このとき，正方形の$4$つの辺とこれらの垂線を利用してできる長方形のうち，正方形でないものの個数を$n$を用いて表せ．
国立 防衛医科大学校 2016年 第3問四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\triangle \mathrm{BCD}$は$1$辺の長さが$2 \sqrt{2}$の正三角形，その他$3$つの三角形は$2$辺の長さが$4$の二等辺三角形である．辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{I}$，辺$\mathrm{AC}$を$5:1$に外分する点を$\mathrm{K}$，辺$\mathrm{BC}$と$\mathrm{IK}$の交点を$\mathrm{J}$として，以下の問に答えよ．
(1)$\mathrm{BJ}:\mathrm{JC}$，$\mathrm{IJ}:\mathrm{JK}$はそれぞれいくらか．
(2)$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{G}$，$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{AG}$，$\mathrm{BH}$の長さはいくらか．
(3)四面体$\mathrm{JCDK}$の体積はいくらか．
(1)$\mathrm{BJ}:\mathrm{JC}$，$\mathrm{IJ}:\mathrm{JK}$はそれぞれいくらか．
(2)$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{G}$，$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{AG}$，$\mathrm{BH}$の長さはいくらか．
(3)四面体$\mathrm{JCDK}$の体積はいくらか．