$a$を$0<a<1$である実数とする．座標平面において，直線$y=a$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=1$で囲まれた部分を$D_1$とし，曲線$y=(x-1)^2+1$と直線$y=a$および$2$直線$x=0$，$x=a$で囲まれた部分を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ．
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ．
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ．
(4)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$を最大にする$a$の値を求めよ．

座標平面上の曲線$y^2-2x-2=0$と直線$\displaystyle x+y=\frac{1}{2}$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)座標平面に$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$の内部および境界線上を動くとき，$3x+2y$の値がとりうる範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3$または$7$で割り切れる$100$以下の自然数の和を求めよ．
(2)座標平面上で，不等式$(2x^2-y)(x^2+y^2-3) \leqq 0$が表す領域を図示せよ．

(3)$\left\{ \begin{array}{l}
2 \sin \alpha+2 \cos \beta=1 \\
2 \cos \alpha-2 \sin \beta=\sqrt{3}
\end{array} \right.$とする．このとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \alpha<2\pi$かつ$0 \leqq \beta<2\pi$とする．
(4)$1 \leqq x \leqq 25$，$26x+7y=2$を満たす整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．

$a$を正の実数とする．点$\mathrm{P}$は曲線$C_a:y=e^{ax}$上を，点$\mathrm{Q}$は直線$y=x$をそれぞれ動く．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた範囲にある$a$に対して，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする．$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を$\mathrm{P}_a$とする．

(i) $d(a)$を求めよ．
(ii) 点$\mathrm{P}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ．
(iii) $a$が$(1)$で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{P}_a$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．

(3)$d(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)不等式$\log_x y>0$の表す領域を座標平面上に図示せよ．
(2)不等式$\log_y x<\log_x y$の表す領域を座標平面上に図示せよ．

実数$a$に対して，関数$\displaystyle f(x)=x^4+\frac{8}{3}ax^3-2x^2-8ax$が$x=X$で極大値$Y$をとるとする．$a$の値が変化するとき，点$(X,\ Y)$が描く軌跡を図示せよ．

曲線$C_1:y=x^3-x$と曲線$C_2:y=(x-\alpha)^3-(x-\alpha)+\beta$が，ちょうど$2$つの点を共有しているとする．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$が満たす条件を求めよ．
(2)$\alpha,\ \beta$が$(1)$の条件を満たすとき，点$(\alpha,\ \beta)$が存在する領域を図示せよ．

$t$を$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とし，関数$\displaystyle f(x)=|\cos x-t| \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$と$x$軸との共有点の$x$座標を$\alpha$とする．また，$C$と$x$軸，$y$軸および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形を$D$とし，$D$の面積を$S$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のとき，$D$を図示せよ．
(2)$S$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．
(4)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$V$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数として，座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(3,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(3,\ 3,\ 1)$，$\mathrm{D}(2,\ a,\ b)$がある．ただし，$\mathrm{B}$と$\mathrm{D}$は異なる$2$点とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$T$とし，$T$上にあって$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円を$U$とする．次の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{D}$が平面$T$上にあるとき，$a$と$b$の条件を求めて，$ab$平面上に図示せよ．
(2)点$\mathrm{D}$が円$U$の周上にあるとき，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

連立不等式
\[ y \geqq 0,\quad x^2+y^2 \leqq 1,\quad y \geqq 6x^2-4 \]
の表す$xy$平面上の領域を$D$とするとき，次の問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき$y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$D$の面積を求めよ．