次のように媒介変数表示された$xy$平面上の曲線を$C$とする：
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=3 \cos t-\cos 3t \phantom{\frac{8}{8}} \\
y=3 \sin t-\sin3 t \phantom{\frac{[　]}{8}}
\end{array} \right. \]
ただし$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$である．

(1)$\displaystyle \frac{dx}{dt}$および$\displaystyle \frac{dy}{dt}$を計算し，$C$の概形を図示せよ．
(2)$C$と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

楕円$\displaystyle \frac{x^2}{9}+y^2=1$を$C$とする．また，座標平面上の点$\mathrm{P}(v,\ w)$を通り，単位ベクトル$\overrightarrow{u}=(\alpha,\ \beta)$を方向ベクトルにもつ直線$\ell$の媒介変数$t$による表示を
\[ x=v+\alpha t,\quad y=w+\beta t \]
とする．直線$\ell$は$t=t_1,\ t_2$において楕円$C$とそれぞれ共有点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をもつとする．ただし，$\alpha>0$，$t_1 \leqq t_2$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$t_1+t_2$と$t_1t_2$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}} \cdot |\overrightarrow{\mathrm{PR|}}$を$v,\ w,\ \alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$\alpha=\beta$のとき，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{QR|}}=\frac{6}{5}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

複素数$z_n$を
\[ z_0=0,\quad z_1=1,\quad z_{n+2}=z_{n+1}+\alpha (z_{n+1}-z_n) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
により定める．ただし，$i$を虚数単位とし，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right)$とする．また，複素数平面上で複素数$z_n$を表す点を$\mathrm{P}_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$z_2,\ z_3,\ z_4$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$を図示せよ．また，線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さ，および$\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$，$\angle \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1$，$\angle \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の値も図中に示せ．
(3)$z_{n+1}-z_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$\alpha$と$n$を用いて表せ．
(4)$z_n$の実部，虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする．このとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(5)$(4)$で求めた$x_n,\ y_n$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$をそれぞれ求めよ．

$a,\ b$を正の定数とし，$xy$平面上の双曲線
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする．正の実数$r,\ s$に対して，円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える．

(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき，すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき，$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ．
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を，$rs$平面上に図示せよ．
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき，極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ．

座標平面上の曲線$C:y=e^x$に対し，次の問に答えよ．

(1)原点から曲線$C$に引いた接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，不定積分$\displaystyle I=\int \log y \, dy$，$\displaystyle J=\int (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(5)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
y \leqq -x^2+4 \\
y \geqq -\displaystyle\frac{1}{2}x+1
\end{array} \right.$の表す領域を図示しなさい．

(2)点$(x,\ y)$が$(1)$の領域を動くとき，$x+y$のとりうる値の最大値と最小値を求めなさい．

二つの実数$\alpha,\ \beta$について，
\[ m(\alpha,\ \beta)=\left\{ \begin{array}{lcl}
\beta & & (\alpha \geqq \beta \text{のとき}) \\
\alpha & & (\alpha<\beta \text{のとき})
\end{array} \right. \]
と定め，また
\[ M(\alpha,\ \beta)=\alpha+\beta-m(\alpha,\ \beta) \]
とする．

$a,\ b$を実数として関数$f(x),\ g(x)$を次で定めるとき，以下の問いに答えなさい．
\[ f(x)=-(x-a)^2+b,\quad g(x)=M(0,\ x^2-1) \]


(1)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかきなさい．
(2)全ての実数$x$について
\[ m(f(x),\ g(x))=f(x) \]
が成り立つような$(a,\ b)$の範囲を図示しなさい．

$xyz$空間において連立不等式
\[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \]
の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに

$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$

とし，

$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$

とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2)$r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3)$r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4)$0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．

$y>0$とするとき，不等式
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．

$y>0$とするとき，不等式
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．