$a$を定数とし，曲線$y=e^x-a(x-2)$を$C$とする．曲線$C$と$x$軸が接しているとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と$x$軸の接点の$x$座標，および定数$a$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

二つの楕円
\[ x^2+3y^2=4,\quad 3x^2+y^2=4 \]
で囲まれた図形のうち，下の図の網かけ部分として示された，原点を含む部分を$D$とする．
（図は省略）

(1)$D$を$x$軸のまわりに回転してできる図形の体積を求めなさい．
(2)$D$の面積を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)次の極限を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{(n+1)(n+3)}-\sqrt{n(n+2)}) \]
(2)複素数平面上の$2$点$\alpha=4-2i,\ \beta=3-3i$に対して，次の問いに答えなさい．

(i) 点$\alpha$を点$\beta$の周りに${30}^\circ$回転した点を表す複素数$\gamma$を求めなさい．
(ii) $\beta^6$の値を求めなさい．

(3)三角形$\mathrm{ABC}$があり$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(i) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表しなさい．
(ii) 線分$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい．

$a,\ b$を実数とする．$0 \leqq x \leqq \pi$を定義域とする$2$つの関数


$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{x \sin x}{1-\cos x} & (0<x \leqq \pi) \\
a & (x=0)
\end{array} \right.$

$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{\sin x}{\sqrt{x}} & (0<x \leqq \pi) \\
b & (x=0)
\end{array} \right.$


を考える．$f(x),\ g(x)$はともに$x=0$で連続であるとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq \pi \\
0 \leqq y \leqq f(x)g(x)
\end{array} \right. \]
の表す領域$D$を考える．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

複素数平面上に原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(5)$，$\mathrm{B}(-10-5i)$，$\mathrm{C}(3+4i)$をとる．$\triangle \mathrm{OAB}$を，点$\mathrm{O}$が点$\mathrm{C}$に重なるように平行移動し，さらに点$\mathrm{C}$のまわりに$\theta$だけ回転した．このとき，点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{A}^\prime(\alpha)$に，点$\mathrm{B}$は点$\mathrm{B}^\prime(\beta)$に移った．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とし，$\alpha,\ \beta$は複素数とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{A}^\prime$が一直線上にあるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \sin \theta$の値を求めよ．
(2)$\beta$の値を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{OA}^\prime$の大きさを求めよ．

中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$a$の定円$C_1$上を，半径$\displaystyle \frac{a}{4}$の円$C_2$が内接しながらすべることなく回転する．円$C_2$上の点$\mathrm{P}$は最初に点$\mathrm{A}(a,\ 0)$にあるとする．円$C_2$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，動点$\mathrm{P}$が移動する距離を求めなさい．

楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{a^2}=1 (a>0)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(0,\ -a)$とする．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ a \sin \theta)$はこの楕円上を動く．以下の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする．$\displaystyle X=\sin \theta \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする．$f(X)$を$X$の式で表せ．
(2)$0<a<1$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し，そのときの$X$の値を求めよ．
(3)$a=2$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする．$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

関数$f(x)=x \sqrt{4-x^2}$に対し，曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)$f(x)$の増減を調べよ．ただし，$f(x)$の第$2$次導関数を調べる必要はない．
(2)$C$上の点$(1,\ \sqrt{3})$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$の$0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$の部分，直線$x=\sqrt{2}$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)$C$と$x$軸の$x \geqq 0$の部分で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

区間$-1 \leqq x \leqq 1$において，$2$つの関数$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$，$g(x)=x-\sqrt{1-x^2}$を考える．曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$で囲まれた図形を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$C_1$は曲線$C_2$と原点に関して対称であることを示せ．
(3)区間$-1 \leqq x \leqq 1$において，$f(x)$と$-g(x)$の値の大小関係を調べよ．また，$g(x) \geqq 0$が成り立つような$x$の範囲を求めよ．
(4)図形$D$の$x \geqq 0$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$t$を$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とし，関数$\displaystyle f(x)=|\cos x-t| \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$と$x$軸との共有点の$x$座標を$\alpha$とする．また，$C$と$x$軸，$y$軸および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形を$D$とし，$D$の面積を$S$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のとき，$D$を図示せよ．
(2)$S$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．
(4)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$V$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．