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天使大学 私立 天使大学 2016年 第5問
次の問いに答えなさい.

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=10$,$\mathrm{CA}=2 \sqrt{5}$であり,この三角形は円$\mathrm{O}$に内接している.また点$\mathrm{A}$における円$\mathrm{O}$の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{20}{3}$である.次の問いに答えなさい.

(i) $\mathrm{DC}=\frac{\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}}{\mkakko{$\mathrm{c}$}}$,$\mathrm{AB}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}$である.
(ii) 円$\mathrm{O}$の半径は$\mkakko{$\mathrm{f}$}$であり,$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}}{\mkakko{$\mathrm{i}$}}$である.

(2)実数$x$に対して$3$つの条件$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$がある.ただし$a$は定数である.

$\mathrm{P}:2x-5 \geqq x+6$
$\mathrm{Q}:x^2-(2a-1)x+a^2-a-12 \leqq 0$
$\mathrm{R}:13 \leqq x \leqq 16$

次の問いに答えなさい.

(i) $\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \leqq a$であり,$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \leqq a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$} \mkakko{$\mathrm{o}$}$である.
(ii) $(ⅰ)$より,$\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件で,かつ$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となることを満たす定数$a$のうち整数は,小さい順に$\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}$,$\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}$,$\mkakko{$\mathrm{t}$} \mkakko{$\mathrm{u}$}$である.
京都教育大学 国立 京都教育大学 2015年 第3問
正の実数$x,\ y,\ z$に関する,次の$3$つの条件を考える.

$p:2^x=3^y=6^z$
$q:2^x=3^y$
$\displaystyle r:\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$


(1)$p$は$r$の十分条件であることを証明せよ.
(2)$p$は$r$の必要条件ではないことを証明せよ.
(3)$p$は「$q$かつ$r$」の必要条件であることを証明せよ.
昭和大学 私立 昭和大学 2015年 第5問
$x,\ y,\ z$を実数とするとき,次の$(1)$~$(6)$までの文中の空欄に当てはまるものを$(ア)$~$(エ)$から一つ選べ.

(1)$xyz=0$は$xy=0$の$[ ]$.
(2)$x+y+z=0$は$x+y=0$の$[ ]$.
(3)$x(y^2+1)=0$は$x=0$の$[ ]$.
(4)$x^2+y^2=0$は$|x-y|=x+y$の$[ ]$.
(5)$xy<0$は$|x+y|>x+y$の$[ ]$.
(6)$(x^2+y^2)(x^2+z^2)=0$は$x=0$の$[ ]$.


\mon[(ア)] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[(イ)] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[(ウ)] 必要十分条件である
\mon[(エ)] 必要条件でも十分条件でもない
広島文化学園大学 私立 広島文化学園大学 2015年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ.
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ.
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき,式$x^2+y^2$の値を求めよ.
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け.
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合,集合$B$を素数全体の集合とするとき,$A \cap B$の要素を書き並べて表せ.
(6)次の$[ ]$にあてはまるものとして,「必要条件である」,「十分条件である」,「必要十分条件である」,「必要条件でも十分条件でもない」のうち,最も適切なものを選べ.
$x^2=16$は$x=4$であるための$[ ]$.
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき,$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ.
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき,$\mathrm{BC}$を求めよ.
会津大学 公立 会津大学 2015年 第1問
次の空欄をうめよ.

(1)次の積分を求めよ.

(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$

(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$

(2)次の極限を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である.
(4)$0 \leqq x<2\pi$において,$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき,最大値$[ト]$をとる.
(5)以下の文章に「必要条件である」,「十分条件である」,「必要十分条件である」,「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ.ただし,$n$は自然数とする.

(i) $n$が$6$の倍数であることは,$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$.
(ii) $n$が奇数であることは,$n^2$が奇数であるための$[リ]$.
三重大学 国立 三重大学 2014年 第5問
実数$a$に対して,下の$4$つの条件$p,\ q,\ r,\ s$を考える.ただし,実数$k$に対して,$[k]$は$k$以下の最大の整数を表し,$\langle k \rangle$は$k$以上の最小の整数を表すとする.たとえば,$k=2.15$のとき,$[k]=2$であり,$\langle k \rangle=3$である.また,$|k|$は$k$の絶対値を表す.

$p:x^2+4x+a^2=0$を満たす実数$x$が存在する.
$q:[a]<\langle a \rangle$
$\displaystyle r:|a-1.5|<\frac{1}{|a-1.5|+1.5}$
$\displaystyle s:0<a<\pi$,かつ,$\displaystyle \sin \left( 2a-\frac{\pi}{4} \right)+\sin \left( 2a+\frac{\pi}{4} \right)=0$

上の$p,\ q,\ r,\ s$それぞれについて,条件を満たす$a$の範囲を求めよ.さらに,以下の$①$,$②$,$③$それぞれについて,$p,\ q,\ r,\ s$の中から,あてはまるものを全て答えよ.

$①$ $p$であるための十分条件である.
$②$ $q$であるための十分条件である.
$③$ $r$であるための十分条件である.
京都教育大学 国立 京都教育大学 2014年 第3問
次の問に答えよ.

(1)$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$は異なる$3$点,$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$の中点であるとする.このとき,
\[ \mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2=2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{OM}^2) \]
であることを証明せよ.
(2)$xy$平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円を$\mathrm{O}_3$,$xy$平面の$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円を$\mathrm{O}_4$とする.さらに$\mathrm{AB}$は$xy$平面上の長さ$6$の線分,$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$の中点であるとする.次の条件$p,\ q$を考える.

$p:2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}_4$の内部にある.
$q:$点$\mathrm{M}$は$\mathrm{O}_3$の内部にある.

このとき,次の問に答えよ.

(i) $p$は$q$であるための十分条件であることを証明せよ.
(ii) $p$は$q$であるための必要条件ではないことを証明せよ.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2014年 第2問
次の$[ ]$に当てはまるものを下記の$①$~$④$のうちから一つ選び,その番号をマークせよ.ただし,同じものをくり返し選んでもよい.

$a,\ b,\ c$を定数とし,$a \neq 0$とする.条件$p,\ q,\ r,\ s,\ t$を次のように定める.
$p:$方程式$ax^2+bx+c=0$は異なる$2$つの実数解をもつ.
$q:$座標平面で関数$y=ax^2+bx+c$のグラフは$x$軸と異なる$2$点で交わる.
$r:ac<0$である.
$s:b^2-ac>0$である.
$t:(a+b+c)(a-b+c)<0$である.

このとき,$q$は$p$の$[ケ]$.$r$は$q$の$[コ]$.$s$は$p$の$[サ]$.$t$は$q$の$[シ]$.
\[ \begin{array}{ll}
① \text{必要十分条件である} & ② \text{必要条件であるが,十分条件でない} \\
③ \text{十分条件であるが,必要条件でない} & ④ \text{必要条件でも十分条件でもない}
\end{array} \]
大同大学 私立 大同大学 2014年 第6問
次の$[ノ]$から$[リ]$までの$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ.

(1)$1$つのさいころを$3$回続けて投げるとき,出た目が$3$回とも同じである確率は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ][ヒ]}$,$3$回とも異なる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり,$3$回のうち$2$回は同じで$1$回だけ他と異なる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ][ミ]}$である.
(2)$a,\ b$を自然数とし,$x$を実数とするとき,以下の$[ム]$から$[リ]$の$[ ]$に入る正しい記述を次の$①$~$④$の中から選び,その番号を記述せよ.

\mon[$①$] 必要十分条件である
\mon[$②$] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[$③$] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない

(i) $a$が$2$の倍数であることは,$a^2$が$2$の倍数であるための$[ム]$
(ii) $a$が$4$の倍数であることは,$a^2$が$4$の倍数であるための$[メ]$
(iii) $a$が$4$の倍数であることは,$a^2$が$8$の倍数であるための$[モ]$
\mon[$\tokeishi$] $a$が$2$の倍数または$b$が$2$の倍数であることは,$ab$が$6$の倍数であるための$[ヤ]$
\mon[$\tokeigo$] $a$が$2$の倍数または$b$が$3$の倍数であることは,$ab$が$6$の倍数であるための$[ユ]$
\mon[$\tokeiroku$] $x^2+x-2=0$は,$x=1$であるための$[ヨ]$
\mon[$\tokeishichi$] $x>2$は,$x^2+3x-4>0$であるための$[ラ]$
\mon[$\tokeihachi$] $x^2 \leqq x+6$は,$x<3$であるための$[リ]$
上智大学 私立 上智大学 2014年 第1問
次の$[あ]$~$[お]$に当てはまるものを,下の選択肢から選べ.

(1)$\displaystyle x=-\frac{2}{3}$は$3x^2-13x-10=0$であるための$[あ]$
(2)$n$を自然数とする.$n^2$が$5$の倍数であることは,$n$が$5$の倍数であるための$[い]$
(3)$a,\ b$を自然数とする.$(a+b)^2$が奇数であることは,$ab$が偶数であるための$[う]$
(4)平面上の異なる$2$つの円$C$,$C^\prime$の半径をそれぞれ$r$,$r^\prime$とし,中心間の距離を$d$とする.ただし,$r<r^\prime$とする.このとき,$C$と$C^\prime$が共有点をもたないことは,$d>r+r^\prime$であるための$[え]$
(5)$\mathrm{AB}=8$,$\mathrm{BC}=5$,$\mathrm{CA}=7$の$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$の延長上に$\mathrm{CD}=4$となる点$\mathrm{D}$をとり,辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AE}=3$となる点$\mathrm{E}$をとる.このとき,辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{F}$に対して,$\mathrm{AF}=3$であることは,$3$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$が一直線上にあるための$[お]$
選択肢:

\mon[$①$] 必要条件であるが十分条件ではない.
\mon[$②$] 十分条件であるが必要条件ではない.
\mon[$③$] 必要十分条件である.
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない.
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「十分条件」とは・・・

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