次の問に答えよ．
(1) $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は異なる$3$点，$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$の中点であるとする．このとき， \[ \mathrm{OA}^2+\mathrm{OB}^2=2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{OM}^2) \] であることを証明せよ．
(2) $xy$平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円を$\mathrm{O}_3$，$xy$平面の$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円を$\mathrm{O}_4$とする．さらに$\mathrm{AB}$は$xy$平面上の長さ$6$の線分，$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$の中点であるとする．次の条件$p,\ q$を考える．
$p:2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}_4$の内部にある．
$q:$点$\mathrm{M}$は$\mathrm{O}_3$の内部にある．
このとき，次の問に答えよ．
(ⅰ) $p$は$q$であるための十分条件であることを証明せよ．
(ⅱ) $p$は$q$であるための必要条件ではないことを証明せよ．