数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{6}{\sqrt{a_n}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}+\frac{6}{\sqrt{x}} (x>0)$として，次の問いに答えよ．

(1)閉区間$4 \leqq x \leqq 9$において，$f(x)$の最大値と最小値，導関数$f^\prime(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(2)$4<a_n<9$を数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$c=f(c)$を満たす正の実数$c$を求めよ．
(4)上の$(3)$で決定した$c$に対して，$\displaystyle 0<c-a_{n+1}<\frac{c-a_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．

(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．

(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．

(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．

平面上の放物線$y=f(x)$が$2$点$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$を通る．

(1)$f(x)=ax^2+bx+c$とするとき，係数$a,\ b,\ c$が満たす条件を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$が区間$0<x<1$で$x$軸と交差する．このときの$x$座標を$f(x)$の式とともに求めよ．
(3)$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸とで囲まれる図形が$2$つの部分からなり，それぞれの面積が互いに等しいという．$f(x)$を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$2$次関数$y=f(x)$のグラフが$3$点$(-1,\ -1)$，$(2,\ 2)$，$(3,\ -5)$を通るとき，$f(x)=[　]$であり，$f(x)$の区間$-3 \leqq x \leqq 4$における最小値は$[　]$である．
(2)$0 \leqq x<2\pi$のとき，関数$f(x)=\cos 2x+2 \cos x$の最大値と最小値の差は$[　]$であり，$f(x)$が最小値をとる$x$の値は$[　]$である．
(3)赤球$3$個，白球$4$個，青球$5$個が入っている袋から，$3$個の球を$1$個ずつ取り出すとき，$3$個とも白球である確率は$[　]$であり，$3$個目が白球である確率は$[　]$である．ただし，取り出した球はもとに戻さないものとする．

$2$次関数$y=ax^2-2ax+b-2$のグラフを$C$とする．ただし，$a,\ b$は定数とする．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$C$が$2$点$(-2,\ 1)$，$(1,\ 4)$を通るとき，
\[ a=-\frac{[$22$]}{[$23$]},\quad b=\frac{[$24$]}{[$25$]} \]
である．
(2)この関数の最大値が$3$であり，$C$が点$(-1,\ 1)$を通るとき，
\[ a=-\frac{[$26$]}{[$27$]},\quad b=\frac{[$28$]}{[$29$]} \]
である．
(3)$C$が$x$軸と接し，点$(3,\ 2)$を通るとき，
\[ a=\frac{[$30$]}{[$31$]},\quad b=\frac{[$32$]}{[$33$]} \]
である．
(4)区間$0 \leqq x \leqq 4$において，この関数の最大値が$5$，最小値が$-2$であるとき，
\[ a=\frac{[$34$]}{[$35$]},\quad b=\frac{[$36$]}{[$37$]},\quad \text{または} \quad a=-\frac{[$38$]}{[$39$]},\quad b=\frac{[$40$]}{[$41$]} \]
である．

関数$F(x)=3x^5-15x^4-35x^3+165x^2+360x+240$の導関数を$f(x)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle A=\frac{f(2)+f(3)+f(4)}{15}$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を因数分解せよ．
(3)$y=x^2-2x-3$とおく．$f(x)$を$y$を用いて表せ．
(4)不等式$f(x)<750$をみたす$x$の中で，最小の整数を$m$とする．$m$の値を求めよ．また，閉区間$[m,\ m+5]$における$F(x)$の最小値$B$を求めよ．

関数$y=\tan x$は，区間$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$で単調増加である．したがって，この区間で逆関数を作ることが出来る．それを
\[ y=\phi(x) \quad (-\infty<x<\infty) \]
と書く（この逆関数を$\mathrm{Arctan} \ x$と書く参考書もある）．正確を期すために，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi(x)<\frac{\pi}{2}$としておく．以下の問いに答えよ．ただし，「$-\infty<x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である．

(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \left\{ \phi(\sqrt{2}x+1)+\phi(\sqrt{2}x-1) \right\} \]
とおく．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)積分
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx \]
を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数$G(x)$で
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx=G(\sqrt{2}+1) \]
となる関数を求めよ．
(3)積分の等式
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を示せ．
(4)積分
\[ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} (x \geqq 1)$と曲線$C:y=f(x)$について，次に答えよ．

(1)区間$x>1$で，$f(x)$は増加し，曲線$C$は上に凸であることを示せ．
(2)曲線$C$の点$(\sqrt{2},\ f(\sqrt{2}))$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$と曲線$C$および$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(4)$(3)$で定めた図形$D$の面積$S$を求めよ．

$f(x)=\cos x+\sin x-1$とする．$g(x)$は
\[ g(x)=|f(x)|-\frac{1}{4 \pi^2} \left\{ \int_0^{2\pi} tg(t) \, dt-3\pi \right\} \]
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．

(1)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$において$f(x)>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int xf(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} t |f(t)| \, dt$の値を求めよ．
(4)$g(x)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]