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国立 室蘭工業大学 2016年 第3問$a,\ b,\ c,\ m$を整数とする．
(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば，$a-c$も$m$の倍数であることを示せ．
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して，すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを，数学的帰納法により示せ．
(3)$2016$を素因数分解せよ．また，$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ．
(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば，$a-c$も$m$の倍数であることを示せ．
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して，すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを，数学的帰納法により示せ．
(3)$2016$を素因数分解せよ．また，$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ．
国立 鹿児島大学 2016年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}$について，次の各問いに答えよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)$x \geqq 0$において$f^\prime(x) \geqq 0$および$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$f(x)$の定積分を利用して$\displaystyle \sin 1 \geqq \frac{5}{6}$を示せ．
(1)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)$x \geqq 0$において$f^\prime(x) \geqq 0$および$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$f(x)$の定積分を利用して$\displaystyle \sin 1 \geqq \frac{5}{6}$を示せ．
国立 佐賀大学 2016年 第2問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$を利用して，不定積分$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ．
(2)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2} \tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$\displaystyle 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$を利用して，不定積分$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ．
(2)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2} \tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 福岡教育大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき
\[ \cos 2x+\cos x+1>0 \]
を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$a^2b-3a^2+5b=21$を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ．
(3)正方形の各辺を$n$等分した点から向かい合う辺に垂線を下ろす．このとき，正方形の$4$つの辺とこれらの垂線を利用してできる長方形のうち，正方形でないものの個数を$n$を用いて表せ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき
\[ \cos 2x+\cos x+1>0 \]
を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$a^2b-3a^2+5b=21$を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ．
(3)正方形の各辺を$n$等分した点から向かい合う辺に垂線を下ろす．このとき，正方形の$4$つの辺とこれらの垂線を利用してできる長方形のうち，正方形でないものの個数を$n$を用いて表せ．
国立 長崎大学 2016年 第2問$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．下の図$1$のように，$2$辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上に，$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
国立 長崎大学 2016年 第2問$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．下の図$1$のように，$2$辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上に，$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
国立 長崎大学 2016年 第2問$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．下の図$1$にように，$2$辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上に，$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
私立 津田塾大学 2016年 第3問$m$を自然数とし，整数$x,\ y$は$x^3+y^3=m$を満たすとする．
(1)$0<x^2-xy+y^2 \leqq m$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle y^2 \leqq \frac{4}{3}m$が成り立つことを示せ．
(3)$x^3+y^3=19$を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．ただし，$(2)$の結果を利用してもよい．
(1)$0<x^2-xy+y^2 \leqq m$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle y^2 \leqq \frac{4}{3}m$が成り立つことを示せ．
(3)$x^3+y^3=19$を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．ただし，$(2)$の結果を利用してもよい．
私立 西南学院大学 2016年 第5問次の問いに答えよ．
\mon[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする．${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$，${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき，
\[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots ① \]
を以下の指示に従って，$2$通りの方法で証明せよ．
\mon[$(1)$] すべての実数$t$に対して，
\[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \]
が成り立つことを利用して$①$を証明せよ．また等号が成り立つときの条件を示せ．
\mon[$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \]
を考える．$①$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ．その上で，$①$を証明せよ．また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ．
\mon[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) (i=1,\ 2,\ 3)$を考える．変量$x$の平均を$\overline{x}$とし，$x$の偏差を$X$とする．すなわち，$X_i=x_i-\overline{x} (i=1,\ 2,\ 3)$であり，変量$y$についても同様とする．また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え，これを$r$とする．このとき，上記$①$を用いて，
\[ -1 \leqq r \leqq 1 \]
となることを示せ．
\mon[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする．${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$，${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき，
\[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots ① \]
を以下の指示に従って，$2$通りの方法で証明せよ．
\mon[$(1)$] すべての実数$t$に対して，
\[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \]
が成り立つことを利用して$①$を証明せよ．また等号が成り立つときの条件を示せ．
\mon[$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \]
を考える．$①$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ．その上で，$①$を証明せよ．また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ．
\mon[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) (i=1,\ 2,\ 3)$を考える．変量$x$の平均を$\overline{x}$とし，$x$の偏差を$X$とする．すなわち，$X_i=x_i-\overline{x} (i=1,\ 2,\ 3)$であり，変量$y$についても同様とする．また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え，これを$r$とする．このとき，上記$①$を用いて，
\[ -1 \leqq r \leqq 1 \]
となることを示せ．
公立 首都大学東京 2016年 第2問$n$を自然数とし，
\[ h(x)=x-n \log x \]
とおく．ただし，$\log x$は自然対数とする．以下の問いに答えなさい．
(1)$x \geqq 2n$のとき，$\displaystyle h^\prime(x) \geqq \frac{1}{2}$が成り立つことを示しなさい．ただし，$h^\prime(x)$は$h(x)$の導関数とする．
(2)$x \geqq 2n$のとき，$\displaystyle h(x)-h(2n) \geqq \frac{1}{2}(x-2n)$が成り立つことを示しなさい．
(3)$x \geqq 2n$かつ$x \geqq 2n-2h(2n)$のとき，$h(x) \geqq 0$が成り立つことを示しなさい．
(4)$(3)$を利用して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x}=0$が成り立つことを示しなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．
\[ h(x)=x-n \log x \]
とおく．ただし，$\log x$は自然対数とする．以下の問いに答えなさい．
(1)$x \geqq 2n$のとき，$\displaystyle h^\prime(x) \geqq \frac{1}{2}$が成り立つことを示しなさい．ただし，$h^\prime(x)$は$h(x)$の導関数とする．
(2)$x \geqq 2n$のとき，$\displaystyle h(x)-h(2n) \geqq \frac{1}{2}(x-2n)$が成り立つことを示しなさい．
(3)$x \geqq 2n$かつ$x \geqq 2n-2h(2n)$のとき，$h(x) \geqq 0$が成り立つことを示しなさい．
(4)$(3)$を利用して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x}=0$が成り立つことを示しなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．