西南学院大学
2016年 神学・経済 第5問
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![次の問いに答えよ．\mon[\tocichi]X_i,Y_i(i=1,2,3)は実数とする．{X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2≠0，{Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2≠0のとき，(X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2≦({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2)・・・・・・①を以下の指示に従って，2通りの方法で証明せよ．\mon[(1)]すべての実数tに対して，(tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2≧0が成り立つことを利用して①を証明せよ．また等号が成り立つときの条件を示せ．\mon[(2)]原点をOとする2つのベクトル，ベクトルOA=(X_1,X_2,X_3),ベクトルOB=(Y_1,Y_2,Y_3)を考える．①をベクトルOAとベクトルOBによって表せ．その上で，①を証明せよ．また等号が成り立つときの2つのベクトルの位置関係を示せ．\mon[\tocni]対応する2つの変量x,yの値の組(x_i,y_i)(i=1,2,3)を考える．変量xの平均を\overline{x}とし，xの偏差をXとする．すなわち，X_i=x_i-\overline{x}(i=1,2,3)であり，変量yについても同様とする．またx,yの相関係数が定義できる場合を考え，これをrとする．このとき，上記①を用いて，-1≦r≦1となることを示せ．](./thumb/695/921/2016_5.png)
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次の問いに答えよ．
[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i \ \ (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする．${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$，${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき， \[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots \ \ \maruichi \] を以下の指示に従って，$2$通りの方法で証明せよ．
[$(1)$] すべての実数$t$に対して， \[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \] が成り立つことを利用して$\maruichi$を証明せよ．また等号が成り立つときの条件を示せ． [$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル， \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \] を考える．$\maruichi$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ．その上で，$\maruichi$を証明せよ．また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ．
[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) \ \ (i=1,\ 2,\ 3)$を考える．変量$x$の平均を$\overline{x}$とし，$x$の偏差を$X$とする．すなわち，$X_i=x_i-\overline{x} \ \ (i=1,\ 2,\ 3)$であり，変量$y$についても同様とする．また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え，これを$r$とする．このとき，上記$\maruichi$を用いて， \[ -1 \leqq r \leqq 1 \] となることを示せ．
[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i \ \ (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする．${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$，${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき， \[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots \ \ \maruichi \] を以下の指示に従って，$2$通りの方法で証明せよ．
[$(1)$] すべての実数$t$に対して， \[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \] が成り立つことを利用して$\maruichi$を証明せよ．また等号が成り立つときの条件を示せ． [$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル， \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \] を考える．$\maruichi$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ．その上で，$\maruichi$を証明せよ．また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ．
[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) \ \ (i=1,\ 2,\ 3)$を考える．変量$x$の平均を$\overline{x}$とし，$x$の偏差を$X$とする．すなわち，$X_i=x_i-\overline{x} \ \ (i=1,\ 2,\ 3)$であり，変量$y$についても同様とする．また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え，これを$r$とする．このとき，上記$\maruichi$を用いて， \[ -1 \leqq r \leqq 1 \] となることを示せ．
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