「初項」について
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国立 岐阜大学 2016年 第4問数列$\{r_n\}$を初項$r_1=1$，公差$1$の等差数列とする．また，数列$\{a_n\}$を次の式で定める．
\[ a_n={r_n}^2+\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問に答えよ．
(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)円$C_n:x^2+(y-a_n)^2={r_n}^2$と放物線$P:y=x^2$の共有点の座標を求めよ．
(3)円$C_n$と円$C_{n+1}$の共有点$(x_n,\ y_n)$の座標を求めよ．
(4)円$C_1,\ C_2,\ C_3$と放物線$P$の概形を描け．
\[ a_n={r_n}^2+\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問に答えよ．
(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)円$C_n:x^2+(y-a_n)^2={r_n}^2$と放物線$P:y=x^2$の共有点の座標を求めよ．
(3)円$C_n$と円$C_{n+1}$の共有点$(x_n,\ y_n)$の座標を求めよ．
(4)円$C_1,\ C_2,\ C_3$と放物線$P$の概形を描け．
国立 信州大学 2016年 第6問群に分けられた数列
\[ 1 \;\bigg|\; 2,\ 4,\ 2 \;\bigg|\; 3,\ 6,\ 9,\ 6,\ 3 \;\bigg|\; 4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 12,\ 8,\ 4 \;\bigg|\; \cdots \]
を，第$n$群が$(2n-1)$個の項
\[ n,\ 2n,\ \cdots,\ (n-2)n,\ (n-1)n,\ n^2,\ (n-1)n,\ (n-2)n,\ \cdots,\ 2n,\ n \]
からなるものとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)与えられた数列の初項から第$n$群の末項までの項数を求めよ．
(2)第$n$群に含まれる項の総和を求めよ．
(3)最初に現れる$2016$は，この数列の第何項か．
\[ 1 \;\bigg|\; 2,\ 4,\ 2 \;\bigg|\; 3,\ 6,\ 9,\ 6,\ 3 \;\bigg|\; 4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 12,\ 8,\ 4 \;\bigg|\; \cdots \]
を，第$n$群が$(2n-1)$個の項
\[ n,\ 2n,\ \cdots,\ (n-2)n,\ (n-1)n,\ n^2,\ (n-1)n,\ (n-2)n,\ \cdots,\ 2n,\ n \]
からなるものとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)与えられた数列の初項から第$n$群の末項までの項数を求めよ．
(2)第$n$群に含まれる項の総和を求めよ．
(3)最初に現れる$2016$は，この数列の第何項か．
国立 信州大学 2016年 第4問群に分けられた数列
\[ 1 \;\bigg|\; 2,\ 4,\ 2 \;\bigg|\; 3,\ 6,\ 9,\ 6,\ 3 \;\bigg|\; 4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 12,\ 8,\ 4 \;\bigg|\; \cdots \]
を，第$n$群が$(2n-1)$個の項
\[ n,\ 2n,\ \cdots,\ (n-2)n,\ (n-1)n,\ n^2,\ (n-1)n,\ (n-2)n,\ \cdots,\ 2n,\ n \]
からなるものとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)与えられた数列の初項から第$n$群の末項までの項数を求めよ．
(2)第$n$群に含まれる項の総和を求めよ．
(3)最初に現れる$2016$は，この数列の第何項か．
\[ 1 \;\bigg|\; 2,\ 4,\ 2 \;\bigg|\; 3,\ 6,\ 9,\ 6,\ 3 \;\bigg|\; 4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 12,\ 8,\ 4 \;\bigg|\; \cdots \]
を，第$n$群が$(2n-1)$個の項
\[ n,\ 2n,\ \cdots,\ (n-2)n,\ (n-1)n,\ n^2,\ (n-1)n,\ (n-2)n,\ \cdots,\ 2n,\ n \]
からなるものとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)与えられた数列の初項から第$n$群の末項までの項数を求めよ．
(2)第$n$群に含まれる項の総和を求めよ．
(3)最初に現れる$2016$は，この数列の第何項か．
国立 大分大学 2016年 第4問初項$3$の数列$\{a_n\}$がある．$b_n=a_{n+1}-3a_n$とするとき，数列$\{b_n\}$は初項$6$，公比$3$の等比数列である．
(1)$\displaystyle c_n=\frac{a_n}{3^n}$とするとき，$c_{n+1}-c_n$を求めなさい．
(2)$a_n$を$n$の式で表しなさい．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とするとき，$S_n$を$n$の式で表しなさい．
(1)$\displaystyle c_n=\frac{a_n}{3^n}$とするとき，$c_{n+1}-c_n$を求めなさい．
(2)$a_n$を$n$の式で表しなさい．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とするとき，$S_n$を$n$の式で表しなさい．
国立 奈良女子大学 2016年 第2問$a$と$d$を整数とする．数列$\{a_n\}$を初項$a$，公差$d$の等差数列とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$S_n$を$a,\ d,\ n$を用いて表せ．
(2)$n \leqq 34$のとき$S_n \leqq 0$，$n \geqq 35$のとき$S_n>0$であるとする．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
(ii) $S_n$の最小値が$-289$のとき，$a$と$d$の値をそれぞれ求めよ．
(1)$S_n$を$a,\ d,\ n$を用いて表せ．
(2)$n \leqq 34$のとき$S_n \leqq 0$，$n \geqq 35$のとき$S_n>0$であるとする．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
(ii) $S_n$の最小値が$-289$のとき，$a$と$d$の値をそれぞれ求めよ．
国立 福岡教育大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和をそれぞれ
\[ s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n,\quad t_n=b_1+b_2+\cdots +b_n \]
とおいたとき
\[ s_n=\frac{3n^2+n}{2},\quad \log_2 (t_n+1)=2n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_kb_k$を求めよ．
\[ s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n,\quad t_n=b_1+b_2+\cdots +b_n \]
とおいたとき
\[ s_n=\frac{3n^2+n}{2},\quad \log_2 (t_n+1)=2n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_kb_k$を求めよ．
国立 九州工業大学 2016年 第2問$s>0$，$t>0$とする．正の数からなる$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は初項と第$2$項が$a_1=b_1=s$，$a_2=b_2=t$であり，すべての自然数$n$に対して
\[ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2},\quad b_{n+2}=\sqrt{b_{n+1}b_n} \]
をみたすとする．次に答えよ．
(1)$a_3,\ b_3,\ a_4,\ b_4$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$c_n=a_{n+1}-a_n$とおく．数列$\{c_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．さらに，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$d_n=\log b_n$とおく．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項を$s$の累乗と$t$の累乗を用いて表せ．ただし，対数は自然対数とする．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(5)$t=s$は$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$であるための必要十分条件であることを示せ．
\[ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2},\quad b_{n+2}=\sqrt{b_{n+1}b_n} \]
をみたすとする．次に答えよ．
(1)$a_3,\ b_3,\ a_4,\ b_4$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$c_n=a_{n+1}-a_n$とおく．数列$\{c_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．さらに，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$d_n=\log b_n$とおく．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項を$s$の累乗と$t$の累乗を用いて表せ．ただし，対数は自然対数とする．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(5)$t=s$は$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$であるための必要十分条件であることを示せ．
国立 宇都宮大学 2016年 第3問初項$a$，公差$d$の等差数列$a_n=a+(n-1)d (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第3問初項$a$，公差$d$の等差数列$a_n=a+(n-1)d (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第3問初項$a$，公差$d$の等差数列$a_n=a+(n-1)d (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．