三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{b}+\frac{1}{2} \overrightarrow{c}$を満たすようにとる．また，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BP}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{CP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)線分の長さの比$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$，$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$をそれぞれ求めよ．
(3)次の問いに答えよ．

(i) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の垂心であるとする．すなわち，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CF}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BE}}$が成り立っている．このとき，$|\overrightarrow{b|}:|\overrightarrow{c|}$および$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(ii) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外心になることがあるかどうかを調べよ．

数列$\{a_n\}$が以下の漸化式をみたすとする．
\[ a_1=-4,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{3}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，実数$x$の多項式$P_n(x)$を
\[ P_n(x)=a_1x+\cdots +a_nx^n \]
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$P_n(x)$を$x-1$で割ったときの余りを求めよ．
(3)$P_n(x)$を$x-4$で割ったときの余りが$-24$になるように，$n$の値を定めよ．

$a,\ b$は定数で$b>0$とする．$2$つの$2$次方程式

$x^2+2ax-a^2+b=0 \qquad \cdots①$
$\displaystyle x^2+ax+a+\frac{5}{4}=0 \qquad \;\!\cdots②$

について，以下の問いに答えなさい．

(1)$b=2$とするとき，$2$つの$2$次方程式$①$と$②$がともに実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)$\displaystyle b=\frac{1}{2}$とするとき，$2$つの$2$次方程式$①$と$②$のどちらか一方だけが実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．
(3)$2$次方程式$①$が実数解をもち，$2$次方程式$②$が実数解をもたないような$a$の値の範囲を$b$を用いて表しなさい．

$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．
\[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2)数学的帰納法によって，次の等式を証明せよ．
\[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3)$m$を整数とする．$\theta \neq 2m\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，等号が成立する条件は調べなくてよい．
\[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]

$a$を$1$以上の実数，$b$を実数，$i$を虚数単位とし，複素数$z$を$z=a+bi$とする．また，複素数$w$を$\displaystyle w=\frac{1}{z}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)複素数$z$が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．また，$iz$が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．
(2)$x,\ y$を実数とし，$w=x+yi$とおくとき，$a$を$x$および$y$を用いて表せ．
(3)$w$が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．

$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一平面上にある．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は，$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=3:2$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$を満たすとする．点$\mathrm{C}$が線分$\mathrm{OA}$の垂直二等分線と線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線の交点であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{5}+i \sin \frac{2\pi}{5}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)$z^n=1$となる最小の正の整数$n$を求めよ．
(2)$z^4+z^3+z^2+z+1$の値を求めよ．
(3)$(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}+\cos \frac{4\pi}{5}$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$，$y>0$のとき，不等式$\displaystyle \frac{x+y}{2} \geqq \sqrt{xy}$を証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

(2)$a>0$，$b>0$，$c>0$で，$a \neq 1$，$c \neq 1$のとき，等式$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$を証明せよ．

(3)$p>1$，$q>1$のとき，不等式$\log_p q+\log_q p \geqq 2$を証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

次の問いに答えよ．

(1)異なる複素数$\alpha,\ \beta$に対して，$\displaystyle \frac{z-\alpha}{z-\beta}$が純虚数となるような$z$は，複素数平面上でどのような図形を描くか．
(2)$2$次方程式$x^2-2x+4=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$\alpha$の虚部は正であるとする．等式
\[ \arg{\displaystyle\frac{z-\alpha^2}{z-\beta^2}}=\frac{\pi}{2} \]
をみたす$z$が，複素数平面上で描く図形を図示せよ．

関数$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$のグラフと$x$軸によって囲まれた部分を$A$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)等式$\displaystyle \frac{1-x^2}{1+x^2}=a+\frac{b}{1+x^2}$が，$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b$を定めると，$a=[イ]$，$b=[ロ]$である．
(2)$A$の面積は$[ハ]$である．
(3)$A$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$[ニ]$である．