「分数」について
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私立 東洋大学 2016年 第3問曲線$y=\sin x \cos^3 x+x$上の$2$点$(0,\ 0)$，$\displaystyle \left( \frac{5}{4} \pi,\ \frac{5 \pi+1}{4} \right)$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は，
$\ell_1:y=[ア]x,$
$\displaystyle \ell_2:y=\frac{1}{[イ]}x+\frac{1}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]} \pi$
であり，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標は，
\[ \left( \frac{[カ] \pi+[キ]}{[クケ]},\ \frac{[コ] \pi+[サ]}{[シ]} \right) \]
である．
$\ell_1:y=[ア]x,$
$\displaystyle \ell_2:y=\frac{1}{[イ]}x+\frac{1}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]} \pi$
であり，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標は，
\[ \left( \frac{[カ] \pi+[キ]}{[クケ]},\ \frac{[コ] \pi+[サ]}{[シ]} \right) \]
である．
私立 大阪工業大学 2016年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である．
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり，$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る．ただし，$0 \leqq [エ]<13$とする．
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である．また，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する．
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする．このとき，積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり，$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である．
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり，$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る．ただし，$0 \leqq [エ]<13$とする．
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である．また，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する．
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする．このとき，積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり，$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある．
私立 大阪工業大学 2016年 第2問次の空所を埋めよ．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
私立 玉川大学 2016年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$．
(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で，$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である．
(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である．このとき，$A$，$B$，$C$は，
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である．
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は，$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である．
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき，
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である．
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は，$x=[ハ]$のとき，最大値$[ヒフ]$をとり，$x=[ヘ]$のとき，最小値$[ホ]$をとる．
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき，
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$
が成り立つ．
(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$．
(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で，$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である．
(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である．このとき，$A$，$B$，$C$は，
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である．
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は，$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である．
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき，
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である．
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は，$x=[ハ]$のとき，最大値$[ヒフ]$をとり，$x=[ヘ]$のとき，最小値$[ホ]$をとる．
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき，
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$
が成り立つ．
私立 玉川大学 2016年 第2問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする．$\mathrm{CA}=x$とおくとき，
\[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{[ア]+x^2}{[イ]x} \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の最大は，${[ウエ]}^\circ$であり，このとき，$x=[オ]$である．
(2)$1 \leqq x \leqq 100$とする．このとき，方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は，$[カキ]$個で，$x$が最小となる解は，$(x,\ y)=([ク],\ [ケ])$である．
(3)方程式
\[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \]
を解くと，$n$を任意の整数として
\[ x=\frac{\pi}{[コ]}+2n \pi,\ \frac{\pi}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}n \pi \]
となる．
(4)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は，
\[ t>[ス],\quad t<-\sqrt{[セ]} \]
であり，鈍角になる条件は，
\[ -\sqrt{[ソ]}<t<[タ] \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+n$で表されるとき，
\[ a_n=[チ]n \]
である．また，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{[ツ]} ([テ]n^2+[トナ]n+[ニヌ]) \]
である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする．$\mathrm{CA}=x$とおくとき，
\[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{[ア]+x^2}{[イ]x} \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の最大は，${[ウエ]}^\circ$であり，このとき，$x=[オ]$である．
(2)$1 \leqq x \leqq 100$とする．このとき，方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は，$[カキ]$個で，$x$が最小となる解は，$(x,\ y)=([ク],\ [ケ])$である．
(3)方程式
\[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \]
を解くと，$n$を任意の整数として
\[ x=\frac{\pi}{[コ]}+2n \pi,\ \frac{\pi}{[サ]}+\frac{1}{[シ]}n \pi \]
となる．
(4)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は，
\[ t>[ス],\quad t<-\sqrt{[セ]} \]
であり，鈍角になる条件は，
\[ -\sqrt{[ソ]}<t<[タ] \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+n$で表されるとき，
\[ a_n=[チ]n \]
である．また，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{[ツ]} ([テ]n^2+[トナ]n+[ニヌ]) \]
である．
私立 玉川大学 2016年 第4問曲線$C:y=x^3-12x$とその上の点$\mathrm{A}(1,\ -11)$がある．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ．
(2)曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき，その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする．曲線と直線の囲む部分の左側，右側の面積をそれぞれ$S$，$S^\prime$とするとき，
\[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \]
を示せ．
(3)点$\mathrm{A}$を通り，$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい．このとき，直線$\ell$を求めよ．ここで，$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき，$S=S^\prime$となることに注意せよ．
(1)点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ．
(2)曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき，その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする．曲線と直線の囲む部分の左側，右側の面積をそれぞれ$S$，$S^\prime$とするとき，
\[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \]
を示せ．
(3)点$\mathrm{A}$を通り，$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい．このとき，直線$\ell$を求めよ．ここで，$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき，$S=S^\prime$となることに注意せよ．
私立 東京経済大学 2016年 第1問$2$次方程式$x^2-kx-2k=3$が実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$k \leqq -[ア]$，$-[イ] \leqq k$である．また，この$2$次方程式の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta (\alpha \geqq \beta)$とするとき，$\alpha,\ \beta$が$\alpha^2+\beta^2=3$を満たすならば，
\[ k=-[ウ],\quad \alpha=\frac{-[エ]+\sqrt{[オ]}}{[カ]} \]
である．
\[ k=-[ウ],\quad \alpha=\frac{-[エ]+\sqrt{[オ]}}{[カ]} \]
である．
私立 東京経済大学 2016年 第2問長さ$3$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周上を点$\mathrm{P}$が動いている．$\angle \mathrm{PAB}={15}^\circ$のとき，$\displaystyle \mathrm{BP}=\frac{[キ] \left( \sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]} \right)}{[コ]}$である．また，$\angle \mathrm{PAB}=\theta$とおくとき，$\sqrt{3} \mathrm{AP}+\mathrm{BP}$の値が最大となるのは，$\displaystyle \theta=\frac{[サ]}{[シ]} \pi$のときで，最大値は$[ス]$である．
私立 東京経済大学 2016年 第3問点$\mathrm{A}(-1,\ -3)$から円$x^2+y^2=5$に接線を引くと，接点の座標は$(-[セ],\ -[ソ])$と$([タ],\ -[チ])$である．また，$2$本の接線と円で囲まれた部分（ただし，円の内部を含まない）の面積は，$\displaystyle [ツ]-\frac{[テ]}{[ト]} \pi$である．
私立 大阪工業大学 2016年 第4問関数$f(x)=|x^2-x|-x^2$について，次の問いに答えよ．
(1)不等式$x^2-x<0$を解け．
(2)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)直線$\displaystyle y=a \left( x-\frac{1}{2} \right)$と$y=f(x)$のグラフがちょうど$2$点を共有するような定数$a$の値をすべて求めよ．
(1)不等式$x^2-x<0$を解け．
(2)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)直線$\displaystyle y=a \left( x-\frac{1}{2} \right)$と$y=f(x)$のグラフがちょうど$2$点を共有するような定数$a$の値をすべて求めよ．