次の$\fbox{}$を埋めよ．
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$であるとする．$\mathrm{CA}=x$とおくとき， \[ \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\fbox{ア}+x^2}{\fbox{イ}x} \] である．$\angle \mathrm{BAC}$の最大は，${\fbox{ウエ}}^\circ$であり，このとき，$x=\fbox{オ}$である．
(2) $1 \leqq x \leqq 100$とする．このとき，方程式$2x+3y=31$をみたす整数の組$(x,\ y)$の個数は，$\fbox{カキ}$個で，$x$が最小となる解は，$(x,\ y)=(\fbox{ク},\ \fbox{ケ})$である．
(3) 方程式 \[ 2 \sin^3 x+\cos 2x-\sin x=0 \] を解くと，$n$を任意の整数として \[ x=\frac{\pi}{\fbox{コ}}+2n \pi,\ \frac{\pi}{\fbox{サ}}+\frac{1}{\fbox{シ}}n \pi \] となる．
(4) $2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(t,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(t+\sqrt{2}-1,\ \sqrt{2})$とする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が鋭角になる条件は， \[ t>\fbox{ス},\quad t<-\sqrt{\fbox{セ}} \] であり，鈍角になる条件は， \[ -\sqrt{\fbox{ソ}}<t<\fbox{タ} \] である．
(5) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+n$で表されるとき， \[ a_n=\fbox{チ}n \] である．また， \[ \sum_{k=1}^n (a_k+1)^2=\frac{n}{\fbox{ツ}} (\fbox{テ}n^2+\fbox{トナ}n+\fbox{ニヌ}) \] である．