方程式$x^2+px+p+1=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．この時，方程式$x^2+qx+q-1=0$の解が$\displaystyle \frac{2}{\alpha},\ \frac{2}{\beta}$となった．$p$の値を求めなさい．ただし，$p$と$q$は正整数とする．

\fbox{この問題は$q$が正整数にならないため，受験者全員正解とした．}

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \displaystyle \frac{4}{3}\cos \beta \\
\displaystyle \frac{3}{4}\sin \alpha & \sin \beta
\end{array} \right)$が表す$1$次変換が座標平面における楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$をそれ自身に移すとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を$\beta$の式で表せ．
(2)$A^3=E$(単位行列)となる行列$A$をすべて求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$7^x=49^{1-x}$を解け．
(2)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}$のとき，$x^4+x^2$の値を求めよ．
(3)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^0 (2x^2-x) \, dx - \int_1^0 (2x^2-x) \, dx \]
(4)関数$y=(2x-1)(x^2+2x-1)$を微分せよ．
(5)$\displaystyle 3\log_{\frac{1}{2}}3, 2\log_{\frac{1}{2}}5, \frac{5}{2}\log_{\frac{1}{2}}4$の3数の大小を比較せよ．
(6)$\overrightarrow{a}=(1,\ -1),\ \overrightarrow{b}=(-4,\ -3)$のとき，$2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$の大きさを求めよ．
(7)初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^2-3n$で与えられる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(8)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle |\sin \theta|<\frac{1}{2}$を解け．

以下の問に答えよ．

(1)不等式$\log_{\frac{1}{2}}x>0$を解け．
(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}x>\log_x \frac{1}{2}$を解け．ただし，$x \neq 1$とする．

次の等号を満たす正の定数$a$，および1次関数$f(x)$を求めよ．
\[ \int_a^x (t-1)f(t) \, dt=-\frac{1}{2}x^2-x+x^3 \int_0^1 2t^2 \, dt \]

$\displaystyle f(x)=\frac{4}{3+4x^2}$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$の交点のうち，$x$座標が正であるものをPとする．点Pにおける$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(2)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

数列$\{a_n\}$が，
\begin{eqnarray}
& & a_1=1 \nonumber \\
& & a_{n+1}=\frac{n}{n+5}a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
で与えられている．数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\frac{n+4}{4}a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$b_n-b_{n+1}-a_n$を求めよ．
(3)$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$を$n$を用いて表せ．
(4)無限級数$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots$の和を求めよ．

次の問いに答えよ．

\mon[問1] 次の関数の導関数を求めよ．

\mon[(1)] $y=e^{2-3x}$
\mon[(2)] $\displaystyle y=\sqrt{\frac{2-x}{x+2}}$

\mon[問2] 次の不定積分を求めよ．

\mon[(1)] $\displaystyle \int \log (1+2x) \, dx$
\mon[(2)] $\displaystyle \int \frac{1}{1+e^x} \, dx$

次の問いに答えよ．

\mon[問1] 2次正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$で，$(A-E)(A-4E)=O$を満たすものを考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$はそれぞれ正の整数とする．

\mon[(1)] $a+d=5$であることを示せ．
\mon[(2)] このような$A$をすべて求めよ．

\mon[問2]
\[ a_1=1, a_{n+1}=\frac{9}{6-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義される数列$\{a_n\}$を考える．

\mon[(1)] すべての正の整数$n$に対し，$a_n<3$が成り立つことを証明せよ．
\mon[(2)] $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．
\mon[(3)] 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{5+4 \cos x}} \quad (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$を求め，$f(x)$の増減を調べよ．また，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ．