広島市立大学
2010年 理系 第2問
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![次の問いに答えよ．\mon[問1]2次正方行列A=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\biggr)で，(A-E)(A-4E)=Oを満たすものを考える．ただし，a,b,c,dはそれぞれ正の整数とする．\mon[(1)]a+d=5であることを示せ．\mon[(2)]このようなAをすべて求めよ．\mon[問2]a_1=1,a_{n+1}=\frac{9}{6-a_n}(n=1,2,3,・・・)で定義される数列{a_n}を考える．\mon[(1)]すべての正の整数nに対し，a_n＜3が成り立つことを証明せよ．\mon[(2)]b_n=\frac{1}{a_n-3}(n=1,2,3,・・・)とおく．b_{n+1}をb_nの式で表せ．\mon[(3)]数列{a_n}の一般項を求めよ．](./thumb/632/2825/2010_2.png)
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次の問いに答えよ．
[問1] 2次正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr)$で，$(A-E)(A-4E)=O$を満たすものを考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$はそれぞれ正の整数とする．
[(1)] $a+d=5$であることを示せ． [(2)] このような$A$をすべて求めよ．
[問2] \[ a_1=1,\ \ a_{n+1}=\frac{9}{6-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定義される数列$\{a_n\}$を考える．
[(1)] すべての正の整数$n$に対し，$a_n<3$が成り立つことを証明せよ． [(2)] $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ． [(3)] 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
[問1] 2次正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr)$で，$(A-E)(A-4E)=O$を満たすものを考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$はそれぞれ正の整数とする．
[(1)] $a+d=5$であることを示せ． [(2)] このような$A$をすべて求めよ．
[問2] \[ a_1=1,\ \ a_{n+1}=\frac{9}{6-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定義される数列$\{a_n\}$を考える．
[(1)] すべての正の整数$n$に対し，$a_n<3$が成り立つことを証明せよ． [(2)] $\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-3} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ． [(3)] 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
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