白玉$4$個と赤玉$2$個がはいっている袋から玉を$1$個取り出す試行を行う．このとき，次の問に答えなさい．

(1)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目にはじめて赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目に$2$個目の赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
(5)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を繰り返す．赤玉が取り出されたら試行は止める．$k$回目に赤玉が出て止める確率は$\displaystyle P_k=\frac{[サ]}{[シ]} \left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\mkakko{ソ}}$である．
また$\displaystyle S_k=(P_1)^2+(P_2)^2+\cdots +(P_k)^2=\frac{[タ]}{[チ]}-\frac{[ツ]}{[テ]} \left( \frac{[ト]}{[ナ]} \right)^{\mkakko{ニ}}$なので$S_k \geqq 0.19998$をみたす最小の$k$は$[ヌネ]$である．
ただし$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

実数$t$は$0 \leqq t<2\pi$を動くとし，点$\mathrm{P}(2 \cos t,\ 2 \sin t)$，点$\mathrm{Q}(-2 \sin t,\ 2 \cos t)$，点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{3}-1}{2},\ \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とおく．このとき$\mathrm{OP}=[ア]$で，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は$[イ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$が一直線に並ぶのは$\displaystyle t=\frac{[ウ]}{[エ]} \pi$のときである．
(3)三角形$\mathrm{PAQ}$の面積は$\displaystyle S(t)=[オ]-[カ] \sin \left( t+\frac{[キ]}{[ク]} \pi \right)$である．また$S(t)$は$\displaystyle t=\frac{[ケ]}{[コ]} \pi$のとき最大値$[サ]$をとる．

放物線$y=1-4x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$と，この放物線の点$\mathrm{P}$を通る接線を$\ell$とおく．また，直線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$とで囲まれる図形の面積を$S(a)$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a=0$のとき，接線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$の交点の$x$座標は$x=[アイ]$，$[ウ]$である．また，$\displaystyle S(0)=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．

(2)$0 \leqq b$となるような$a$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \leqq a \leqq \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)接線$\ell$の方程式は$y=-[シ]ax+[ス]a^2+[セ]$であり，
$\displaystyle S(a)=\frac{[ソタ]}{[チ]} \left( [ツ]a^2+[テ]a+[ト] \right)^{\frac{\mkakko{ナ}}{\mkakko{ニ}}}$となる．
また$S(a)$が最小となるのは$\displaystyle a=\frac{[ヌネ]}{[ノ]}$のときである．

定積分
\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{\sqrt{3} \sin x+\cos x} \, dx,\quad J=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x}{\sqrt{3} \sin x+\cos x} \, dx \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$I+\sqrt{3}J$の値を求めよ．
(2)$\sqrt{3}I-J$の値を求めよ．
(3)$I,\ J$の値を求めよ．

$\displaystyle x=\frac{5-\sqrt{21}}{2},\ y=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$のとき，次の式の値を求めよ．

(1)$x^2+y^2$
(2)$\sqrt{x}-\sqrt{y}$

次の$[　]$を適当に補え．$(6)$，$(7)$は選択問題である．

(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．

(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．

(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{1}{3},\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+(2n+3)a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{a_2}$と$\displaystyle \frac{1}{a_3}$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．

$f(x)=e^{-x} \sin x,\ g(x)=e^{-x} \cos x$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$について，$f^\prime(x)=af(x+b)$が成り立つような定数$a,\ b$を求めよ．ただし，$0 \leqq b \leqq \pi$とする．
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{5\pi}{4}$において，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{AC}=3$とする．そして，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$をとる．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$r_1$，$\triangle \mathrm{ACD}$の外接円の半径を$r_2$とする．次の問に答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．
(2)$r_1$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{r_1}{r_2}=2$のとき，$\sin \angle \mathrm{ADC}$の値を求めよ．また，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

$l \geqq 1$を定数とし，座標空間の点$\mathrm{A}$は平面$z=-1$上を，点$\mathrm{B}$は平面$z=1$上を，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=l$をみたしつつ動くとする．ただし$\mathrm{O}$は座標空間の原点である．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$となるように点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を選ぶことができるためには$l \geqq [あ]$であることが必要十分である．また，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から$xy$平面へ垂線を下ろし，それぞれと$xy$平面との交点を$\mathrm{A}^\prime,\ \mathrm{B}^\prime$とするとき，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$かつ$\displaystyle \cos \angle \mathrm{A}^\prime \mathrm{OB}^\prime=\frac{2}{3}$となるように点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を選ぶことができるのは$l=[い]$のときである．
(2)$l=[い]$のとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標を
\[ \mathrm{A}(0,[う],-1),\quad \mathrm{B}([え],[お],1),\quad \mathrm{C}([か],[き],[く]) \]
とすると$\mathrm{OABC}$は正四面体をなす．ただし$[う],\ [え],\ [く]$はいずれも正とする．
また，正四面体$\mathrm{OABC}$を平面$y+3z=t$で切ったときの切り口は$[け]<t<[こ]$のとき四角形となる．その四角形は上底と下底の和が$[さ]$，高さが$[し]$の台形であり，その面積は$t=[す]$のとき最大値$[せ]$をとる．