「分数」について
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国立 香川大学 2016年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AD}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{3}$を満たしているとする．直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD} \perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第4問座標平面上の放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$に対し，次の問に答えよ．
(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．
(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．
国立 香川大学 2016年 第3問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AD}=3$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{1}{3}$を満たしているとする．直線$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BC} \perp \mathrm{AP}$となる点$\mathrm{P}$をとり，直線$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{BD} \perp \mathrm{AQ}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{AQ|}}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{PQ|}}$を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第3問$3$つの関数$f(x)=\log_3(18-x)$，$g(x)=\log_3(4x^2)$，$h(x)=\log_9(4x^4)$について，次の問に答えよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0<x<2$のとき，$f(x)$，$g(x)$，$h(x)$の大小を比較せよ．
(3)関数$\displaystyle y=f(x)-\frac{1}{2}g(x)+h(x)$の$0<x<18$における最大値とそのときの$x$を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0<x<2$のとき，$f(x)$，$g(x)$，$h(x)$の大小を比較せよ．
(3)関数$\displaystyle y=f(x)-\frac{1}{2}g(x)+h(x)$の$0<x<18$における最大値とそのときの$x$を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第4問座標平面上の放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$に対し，次の問に答えよ．
(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．
(1)半径$r$の円が放物線$C$と$2$点で接するとき，円の中心と$2$つの接点の座標を$r$を用いて表せ．
(2)点$(0,\ 1)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し円$C_n$を，放物線$C$と$2$点で接し，円$C_{n-1}$と外接するものとする．このとき，円$C_n$の半径を$n$を用いて表せ．
国立 香川大学 2016年 第5問$a>0$とし，座標平面上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$から曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x}$に引いた接線を$\ell$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 佐賀大学 2016年 第2問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$を利用して，不定積分$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ．
(2)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2} \tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$\displaystyle 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$を利用して，不定積分$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ．
(2)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2} \tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 佐賀大学 2016年 第3問$0$でない複素数$z$の極形式を$r(\cos \theta+i \sin \theta)$とするとき，次の複素数を極形式で表せ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とし，また$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表す．
(1)$-\overline{z}$
(2)$\displaystyle \frac{1}{z^2}$
(3)$z-|z|$
(1)$-\overline{z}$
(2)$\displaystyle \frac{1}{z^2}$
(3)$z-|z|$
国立 佐賀大学 2016年 第2問$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2} \tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 佐賀大学 2016年 第3問実数$a,\ b$は$a \geqq 0$，$b \geqq 0$，$a^2+b^2=1$を満たしているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)定積分
\[ S=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |a \sin x-b \cos x| \, dx \]
を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$の最大値，最小値とそのときの$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(1)定積分
\[ S=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |a \sin x-b \cos x| \, dx \]
を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$の最大値，最小値とそのときの$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．