三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$，内接円の半径を$r$とする．$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\sqrt{6}$，$\angle \mathrm{ABC}={45}^\circ$のとき，以下の値を求めよ．

(1)$\mathrm{AC}=[ア]$
(2)$\angle \mathrm{BAC}={[イウ]}^\circ$

(3)$\displaystyle S=\frac{3+\sqrt{[エ]}}{[オ]}$

(4)$\displaystyle r=\frac{1}{2} \left( [カ]+\sqrt{[キ]}-\sqrt{[ク]} \right)$

$3$次関数$f(x)=-4x^3+15x^2+18x+a$は，$\displaystyle x=\frac{[ケコ]}{[サ]}$で極小値，$x=[シ]$で極大値をとる．

また，方程式$f(x)=0$の異なる$3$つの実数解のうち$2$つが負となるような定数$a$の範囲は，$\displaystyle [ス]<a<\frac{[セソ]}{[タ]}$である．

以下の問に答えよ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$を原点のまわりに正の向きに$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転した直線の方程式は$y=[チ]x$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 5)$，$\mathrm{B}(3,\ 2)$に対して，直線$y=mx-2m-1$が線分$\mathrm{AB}$（両端を含む）と共有点をもつような定数$m$の範囲は，$m \leqq [ツテ]$，$m \geqq [ト]$である．
(3)$2$点$\mathrm{C}(2,\ 1)$，$\mathrm{D}(5,\ 4)$に対して，$\mathrm{CP}:\mathrm{DP}=1:2$となるような点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡の方程式は，$\displaystyle \left( x-[ナ] \right)^2+\left( y-[ニ] \right)^2=[ヌ]$である．

以下の値を求めよ．

(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+1)=[ネ]n^2+[ノ]n$
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{[ハ]n}{[ヒ]n+1}$
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k 2^{k-1}=\frac{1}{[フ]} \left( {[ヘ]}^n-1 \right)$

集合$X_k$は次のように定義される．
\[ X_k=\left\{ \frac{1}{x} \;\bigg|\; x \text{は}k \text{桁の自然数で，$x$の全ての位に$1$を含まない．} \right\} \]
また，$n(X_k)$は$X_k$の要素の個数，$s(X_k)$は$X_k$の全ての要素の和とする．たとえば，$n(X_1)=8$，$\displaystyle s(X_1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{9}$である．以下の問に答えよ．

(1)$n(X_3)$を求めよ．
(2)$s(X_1)<4$を証明せよ．
(3)$\displaystyle s(X_2)<\frac{18}{5}$を証明せよ．
(4)$\displaystyle s(X_1)+s(X_2)+s(X_3)<\frac{271}{25}$を証明せよ．

$2$個のサイコロを同時に投げる試行を行う．$2$個のサイコロのうち少なくとも$1$個は$1$の目が出る事象を$A$，$2$個とも同じ目が出る事象を$B$とする．このとき以下の確率を求めよ．ただし，$P(X)$は，事象$X$の起こる確率を表す．

(1)$\displaystyle P(\overline{A} \cup B)=\frac{[アイ]}{[ウエ]}$
(2)この試行を$2$回行うとき，少なくとも$1$回は事象$A$が起こる確率は，$\displaystyle \frac{[オカキ]}{\ \fboxsep=0pt\fbox{\rule[-0.25em]{0pt}{1.1em}\makebox[14mm][c]{\small{クケコサ}}}\ }$である．

(3)この試行を$2$回行うとき，少なくとも$1$回は事象$B$が起こる確率は，$\displaystyle \frac{[シス]}{[セソ]}$である．

$a$を定数とし，次の式で与えられる直線$\ell,\ m,\ n$がある．

$\ell:(a+1)x+(a-2)y-5a+4=0$
$m:y=x$

$\displaystyle n:y=\frac{3}{2}x$

(1)$\ell$と$m$が平行のとき$\displaystyle a=\frac{[タ]}{[チ]}$である．

(2)$\ell$と$n$が垂直のとき$a=-[ツ]$である．
(3)$\ell$は$a$の値によらず定点$([テ],\ [ト])$を通る．

放物線$C:y=x^2-x$上の点$\mathrm{P}(2,\ 2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし，$C$の接線のうち$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$\ell_1$の方程式は，$y=[ナ]x-[ニ]$である．

(2)$\ell_2$の方程式は，$\displaystyle y=-\frac{[ヌ]}{[ネ]}x-\frac{[ノ]}{[ハ]}$である．

(3)$\ell_1,\ \ell_2,\ C$で囲まれる部分の面積は，
\[ \int_a^2 \left\{ (x^2-x)-\left( \mkakko{ナ}x-\mkakko{ニ} \right) \right\} \, dx+\int_b^a \left\{ (x^2-x)-\left( -\frac{\mkakko{ヌ}}{\mkakko{ネ}}x-\frac{\mkakko{ノ}}{\mkakko{ハ}} \right) \right\} \, dx \]
によって求められる．ただし，$\displaystyle a=\frac{[ヒ]}{[フ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．

$\mathrm{O}$を原点とし，$2$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$，$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$に関して，$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=4$であるとき，以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ム]}{[メ]} \overrightarrow{a}+\frac{[モ]}{[ヤ]} \overrightarrow{b}$である．

男子$4$人，女子$4$人の合計$8$人のメンバーがいる．以下の問に答えよ．

(1)$8$人を同性$2$人から成る$4$つのグループに分け，さらにこのグループを，先頭から男子グループ，女子グループ，男子グループ，女子グループの順に並べる方法は全部で$[アイ]$通りある．
(2)くじ引きで，男女ペアから成る$4$つのグループを作る．このときメンバーの$1$人である自分が，ある特定の異性と同じグループになる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)くじ引きで，$2$人ずつ$4$つのグループを作る．このとき同性同士のグループが少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キク]}$である．