\begin{mawarikomi}{50mm}{（図は省略）}
$1$辺の長さが$a$の正方形$\mathrm{S}_1$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$\mathrm{S}_2$を描いて，正方形$\mathrm{S}_1$から正方形$\mathrm{S}_2$を除いた領域$\mathrm{B}_1$を黒く塗る．次に正方形$\mathrm{S}_2$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$\mathrm{S}_3$を描いて，正方形$\mathrm{S}_2$から正方形$\mathrm{S}_3$を除いた領域$\mathrm{W}_1$を白く塗る．同様に$m$番目の正方形$\mathrm{S}_m$の内接円に内接する正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を描き，正方形$\mathrm{S}_m$から正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を除いた領域を黒，白，黒，白と交互に塗ることを繰り返す．ただし，$m$は自然数であるとする．以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}

(1)$\mathrm{S}_1$から$\mathrm{S}_2$を除いた黒い領域$\mathrm{B}_1$の面積を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{S}_2$から$\mathrm{S}_3$を除いた白い領域$\mathrm{W}_1$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$1$番目の黒い領域$\mathrm{B}_1$から$n$番目の黒い領域$\mathrm{B}_n$までの面積の和を$a$と$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数であるとする．
(4)黒い領域$\mathrm{B}_1$から$\mathrm{B}_n$までの面積の和において，$n \to \infty$としたときの極限$P$を$a$を用いて表せ．
(5)$1$番目の白い領域$\mathrm{W}_1$から$n$番目の白い領域$\mathrm{W}_n$までの面積の和を求め，$n \to \infty$としたときの極限$Q$を$a$を用いて表せ．次に$\displaystyle \frac{P}{Q}$の値を求めよ．

$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円周上の点$\mathrm{P}$について，以下の問いに答えよ．なお，点$\mathrm{A}$の座標を$(r,\ 0)$，$\angle \mathrm{AOP}$の値を$\theta$とする．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，この円に接する接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$上の点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{Q}(-r,\ 0)$を結んだ線分の長さが最小になるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする．
(4)接線$\ell$に関して，点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする．
(5)$r=1$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，接線$\ell$に関して，直線$y=0$と対称な直線の方程式を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -1,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ -2)$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．
(2)$1 \leqq x \leqq 27$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^2-3$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)複素数平面上で，点$\mathrm{P}(1-\sqrt{3}i)$を中心とする円に内接する正三角形がある．この正三角形の頂点の$1$つが点$\mathrm{A}(2)$であるとき，残りの$2$つの頂点を表す複素数を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

放物線$y=x^2$と円$\displaystyle x^2+(y-3)^2=\frac{r^2}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$r$は正の定数である．

(1)$r=6$のとき，放物線と円の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$r$がすべての正の実数値をとって変化するとき，放物線と円の共有点の個数はどのように変わるか，調べよ．

$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CD}=x$，$\mathrm{DA}=5-x (0<x<5)$を満たす四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接している．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S(x)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{BAD}+\cos \angle \mathrm{BCD}=0$を示せ．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{26-5x}{3(10-x)}$を示せ．
(3)$S(x)$を求めよ．
(4)$S(x)$の最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

白玉が$6$個，赤玉が$5$個入った袋がある．以下の問いに答えよ．

(1)袋の中の玉がなくなるまで袋から玉を$1$個ずつ取り出すとき，最初に赤玉が連続して$4$個出て，かつ最後に赤玉が出る確率を求めよ．
(2)袋の中の玉がなくなるまで袋から玉を$1$個ずつ取り出すとき，白玉と赤玉が交互に出る確率を求めよ．
(3)袋から$5$個の玉を同時に取り出すとき，白玉$1$個につき$1000$円をもらい，赤玉$1$個につき$500$円を支払うものとする．このとき，もらった金額の合計額が支払った金額の合計額を上回る確率を求めよ．

$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$と円$C:x^2+y^2-2y=0$，および直線$\ell:y=kx+2k$がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．

空間において，同一平面上にない$4$点を$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OADB}$，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OAEC}$，線分$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OBFC}$とする．下の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ODE}$を含む平面と直線$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{G}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=x$とする．点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{G}$を含む球面と$\triangle \mathrm{ABE}$を含む平面の交わりで得られる円の半径の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

座標平面上において，円$C:x^2-4x+y^2+6y-12=0$上の点$(5,\ 1)$における接線を$\ell_1$とし，点$(1,\ -1)$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする．次の各問に答えよ．

(1)$2$直線$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell_2$が円$C$によって切り取られてできる線分の長さを求めよ．

$a,\ b$を実数として，座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(3,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(3,\ 3,\ 1)$，$\mathrm{D}(2,\ a,\ b)$がある．ただし，$\mathrm{B}$と$\mathrm{D}$は異なる$2$点とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$T$とし，$T$上にあって$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円を$U$とする．次の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{D}$が平面$T$上にあるとき，$a$と$b$の条件を求めて，$ab$平面上に図示せよ．
(2)点$\mathrm{D}$が円$U$の周上にあるとき，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．