タグ「偶数」の検索結果

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埼玉大学 国立 埼玉大学 2016年 第1問
$a,\ b,\ c$は整数とする.次の問いに答えよ.

(1)$a,\ b$がともに偶数ならば,$a+b$は偶数であることを示せ.
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば,$ab$は奇数であることを示せ.
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと,$ab$が偶数であることは同値であることを示せ.
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば,$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ.
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば,$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ.
埼玉大学 国立 埼玉大学 2016年 第1問
$a,\ b,\ c$は整数とする.次の問いに答えよ.

(1)$a,\ b$がともに偶数ならば,$a+b$は偶数であることを示せ.
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば,$ab$は奇数であることを示せ.
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと,$ab$が偶数であることは同値であることを示せ.
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば,$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ.
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば,$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ.
島根大学 国立 島根大学 2016年 第1問
$1$から$5$までの数字を$1$つずつ書いた$5$枚のカードが箱に入っている.箱の中から$1$枚のカードを取り出してもとに戻すことを$n$回続けて行う.$k$回目に取り出したカードの数字を$a_k$とし,$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$が偶数である確率を$p_n$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$p_1,\ p_2$を求めよ.
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ.
(3)$p_n$を求めよ.
島根大学 国立 島根大学 2016年 第1問
$1$から$5$までの数字を$1$つずつ書いた$5$枚のカードが箱に入っている.箱の中から$1$枚のカードを取り出してもとに戻すことを$n$回続けて行う.$k$回目に取り出したカードの数字を$a_k$とし,$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$が偶数である確率を$p_n$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$p_1,\ p_2$を求めよ.
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ.
(3)$p_n$を求めよ.
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2016年 第1問
自然数$n$のすべての正の約数の和を表す関数を$f(n)$,正の約数の個数を表す関数を$g(n)$とおく.ただし,$1$および$n$も$n$の正の約数であり$f(1)=g(1)=1$とする.例えば,$n=12$のとき,$n$の正の約数は$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$なので
\[ f(12)=1+2+3+4+6+12=28,\quad g(12)=6 \]
である.以下の問いに答えよ.

(1)$f(24)$,$g(24)$の値を求めよ.
(2)$g(n)$の値が奇数となる$n$は,ある自然数の平方であることを証明せよ.



以下の問題では,$n$は偶数とする.


\mon[$(3)$] $m$を正の整数とし,$n=2^{m-1}(2^m-1)$とおく.このとき,$2^m-1$が素数ならば$f(n)=2n$となることを証明せよ.
\mon[$(4)$] 平方数ではない偶数$n$が$f(n)=2n$を満たしているとする.このとき,$n$のすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを示し,その数を求めよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第5問
以下の問いに答えなさい.

(1)$x$を自然数とする.このとき,$x^2$を$4$で割ったときの余りは,$x$が偶数のときは$0$であり,$x$が奇数のときは$1$であることを証明しなさい.
(2)自然数の組$(x,\ y)$について,$5x^2+y^2$が$4$の倍数ならば,$x,\ y$はともに偶数であることを証明しなさい.
(3)自然数の組$(x,\ y)$で$5x^2+y^2=2016$を満たすものをすべて求めなさい.
学習院大学 私立 学習院大学 2016年 第2問
袋の中に,$1$から$6$までの番号が$1$つずつ書かれた$6$個の玉が入っている.袋から$6$個の玉を$1$つずつ取り出していき,$k$番目に取り出した玉に書かれた番号を$a_k$とする($k=1,\ 2,\ \cdots,\ 6$).ただし,取り出した玉は袋に戻さない.

(1)$a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6$が成り立つ確率を求めよ.
(2)$a_6$が偶数であったとき,$a_1$が奇数である確率を求めよ.
津田塾大学 私立 津田塾大学 2016年 第2問
$a,\ b,\ c$を自然数とする.

(1)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば,$a,\ b$はともに偶数であることを示せ.
(2)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて$3$の倍数ならば,$a,\ b,\ c$はすべて$3$の倍数であることを示せ.
福岡大学 私立 福岡大学 2016年 第1問
$2016$の正の約数の中で,偶数であるものの個数は$[ ]$個で,これらすべての和は$[ ]$である.
福岡大学 私立 福岡大学 2016年 第2問
$2016$の正の約数の中で,偶数であるものの個数は$[ ]$個で,これらすべての和は$[ ]$である.
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「偶数」とは・・・

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