「偏角」について
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国立 群馬大学 2016年 第3問複素数平面の点$\mathrm{A}(1)$を中心とし，原点を通る円を$C$とする．また，$\mathrm{P}(z)$，$\mathrm{Q}(w)$を円$C$上を動く点とし，$\displaystyle 0<\arg{z}<\arg{w}<\frac{\pi}{2}$とする．さらに，$\displaystyle R=\frac{z(w-2)}{w(z-2)}$とおく．
(1)$R$は$R>1$を満たす実数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$のときの$R$の最小値を求めよ．
(1)$R$は$R>1$を満たす実数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$のときの$R$の最小値を求めよ．
国立 徳島大学 2016年 第2問$0$でない複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=0$を満たすとする．複素数平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(-\beta)$として，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ．ただし，偏角の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ．ただし，偏角の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
国立 島根大学 2016年 第3問複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(-1+\sqrt{3}i)$，$\mathrm{Q}(2)$と，これら$3$点を通る円$C$がある．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
国立 島根大学 2016年 第3問複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(-1+\sqrt{3}i)$，$\mathrm{Q}(2)$と，これら$3$点を通る円$C$がある．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
国立 宮崎大学 2016年 第3問複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$（$i$は虚数単位）の$3$つの解を，その偏角$\theta$（ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$）の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．複素数平面上で，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第2問複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$（$i$は虚数単位）の$3$つの解を，その偏角$\theta$（ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$）の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．複素数平面上で，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
国立 佐賀大学 2016年 第4問複素数平面上の点$z$に対して
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)$w=z$となるような点$z$は$2$つある．これらを求めよ．
(2)$(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする．$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき，
\[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \]
となるような定数$k$の値を求めよ．
(3)複素数$z_n$を
\[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．また，$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする．このとき，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．さらに，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ．
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)$w=z$となるような点$z$は$2$つある．これらを求めよ．
(2)$(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする．$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき，
\[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \]
となるような定数$k$の値を求めよ．
(3)複素数$z_n$を
\[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．また，$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする．このとき，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．さらに，数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ．
国立 福岡教育大学 2016年 第3問複素数$z$は実部が$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}$，虚部は正で$|z|=1$である．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( z+\frac{1}{z} \right)^2+\left( z+\frac{1}{z} \right)$の値を求めよ．
(2)$1+z+z^2+z^3+z^4$の値を求めよ．
(3)$z$の偏角$\theta$を求めよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(1)$\displaystyle \left( z+\frac{1}{z} \right)^2+\left( z+\frac{1}{z} \right)$の値を求めよ．
(2)$1+z+z^2+z^3+z^4$の値を求めよ．
(3)$z$の偏角$\theta$を求めよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
国立 愛媛大学 2016年 第3問$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする．複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．
国立 茨城大学 2016年 第4問$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{\sqrt{3}+i}$のとき，以下の各問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)$\alpha$の絶対値を$r$，偏角を$\theta$とする．$r$と$\theta$の値をそれぞれ求めよ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\alpha^{20}$を計算せよ．
(3)複素数平面上で複素数$z$の表す点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{P}(z)$と表す．点$\mathrm{A}(\alpha^{20})$，$\mathrm{B}(\alpha^{36})$，$\mathrm{C}(\beta)$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$がある．このとき，複素数$\beta$をすべて求めよ．
(1)$\alpha$の絶対値を$r$，偏角を$\theta$とする．$r$と$\theta$の値をそれぞれ求めよ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\alpha^{20}$を計算せよ．
(3)複素数平面上で複素数$z$の表す点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{P}(z)$と表す．点$\mathrm{A}(\alpha^{20})$，$\mathrm{B}(\alpha^{36})$，$\mathrm{C}(\beta)$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$がある．このとき，複素数$\beta$をすべて求めよ．