点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として，法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし，不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする．点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ．

(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$，$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ．

(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ．

辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して，平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．

曲線$C:y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の方程式で表される二つの直線$\ell_1,\ \ell_2$を考える．

$\ell_1:(a-1)(x+1)-(a+1)y=0$
$\ell_2:ax-y-1=0$


(1)$\ell_1$は$a$の値によらず定点を通る．この定点の座標を求めなさい．
(2)$a$が実数全体を動くときの，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の軌跡を求めなさい．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき，
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ．

$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く．点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と，点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)正の実数$a$に対して，$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$，$x=-a$によって囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ -2)$，$\mathrm{B}(-1,\ -4,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ -4)$，$\mathrm{D}(2,\ 4,\ -4)$をとる．また，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1+t)$に外分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とおく．ただし，$t$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の成分を$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直であるとき，$t$の値を求めよ．
(3)実数$r,\ s$について$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=r \overrightarrow{\mathrm{DC}}+s \overrightarrow{\mathrm{DQ}}$が成り立つとする．このとき，$r,\ s,\ t$の値を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた値のとき，直線$\mathrm{DP}$と直線$\mathrm{CQ}$の交点の座標を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を$S(t)$とする．$S(t)$の最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値を求めよ．

$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1:y=\log x+2 \quad (x>0)$
$C_2:y=-\log x \quad (x>0)$

を考える．正の実数$p,\ q$について，点$\mathrm{P}(p,\ \log p+2)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とし，点$\mathrm{Q}(q,\ -\log q)$における$C_2$の接線を$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直であるとする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$\ell_2$の方程式を$p$を用いて表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \angle \mathrm{RPQ}=\frac{\pi}{3}$であるとき，線分$\mathrm{PQ}$，曲線$C_1$および曲線$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．