$x$の方程式$4^x+2^{x+1}-k=0$が，

$0 \leqq x \leqq 1$に解をもつのは$[イ] \leqq k \leqq [ウ]$のときであり，
また$\displaystyle k=\frac{21}{4}$のときの解は$x=\log_2 [エ]-1$である．

次の問いに答えよ．

\mon[$\tocichi$] $X_i,\ Y_i (i=1,\ 2,\ 3)$は実数とする．${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2 \neq 0$，${Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2 \neq 0$のとき，
\[ (X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3)^2 \leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2) \quad \cdots\cdots ① \]
を以下の指示に従って，$2$通りの方法で証明せよ．

\mon[$(1)$] すべての実数$t$に対して，
\[ (tX_1-Y_1)^2+(tX_2-Y_2)^2+(tX_3-Y_3)^2 \geqq 0 \]
が成り立つことを利用して$①$を証明せよ．また等号が成り立つときの条件を示せ．
\mon[$(2)$] 原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,\ X_2,\ X_3),\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,\ Y_2,\ Y_3) \]
を考える．$①$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ．その上で，$①$を証明せよ．また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ．

\mon[$\tocni$] 対応する$2$つの変量$x,\ y$の値の組$(x_i,\ y_i) (i=1,\ 2,\ 3)$を考える．変量$x$の平均を$\overline{x}$とし，$x$の偏差を$X$とする．すなわち，$X_i=x_i-\overline{x} (i=1,\ 2,\ 3)$であり，変量$y$についても同様とする．また$x,\ y$の相関係数が定義できる場合を考え，これを$r$とする．このとき，上記$①$を用いて，
\[ -1 \leqq r \leqq 1 \]
となることを示せ．

$2$つの関数$f(x)=-x^2+2x+3$，$g(x)=x^2-a^2$（ただし，$a>0$）について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)>0$を満たす整数$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)>0,\ g(x)<0$を同時に満たす整数$x$の個数と，そのときの定数$a$の値の範囲を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を実数とし，$b>0$，$e>0$とする．座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(c,\ d,\ e)$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$で作られる三角錐$\mathrm{OABC}$において，
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{OB},\quad \cos \angle \mathrm{OBA}=\frac{4}{5},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\mathrm{OC}=9 \]
であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．さらに点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．さらに，点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(4)三角錐$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

数列$\{a_n\}$はすべての項が整数であり，次の性質を満たしている．

「正の整数$n$の正の約数が$k$個あるとき，これらを$d_1,\ d_2,\ \cdots,\ d_k$とすると，
\[ a_{d_1}+a_{d_2}+\cdots +a_{d_k}=n \]
が成り立つ．」

(1)$a_5=[ツ]$，$a_6=[テ]$，$a_{49}=[ト]$である．
(2)$a_{5^{100}}=[ナ] \cdot 5^{99}$である．
(3)$p,\ q$を$p<q$を満たす$2$つの素数とする．$a_{pq}=pq-11$が成立するならば，$p=[ニ]$，$q=[ヌ]$である．

$a$を正の実数とする．$x \geqq 0$のとき，次の不等式が成り立つとする．
\[ \frac{x^3}{3}+a \geqq x \]
また，等号が成り立つ正の実数$x$が存在するとする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)次の連立不等式を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
\[ x \leqq y,\quad y \leqq \frac{x^3}{3}+a,\quad \frac{x^3}{3}+a \leqq 1 \]

次の問いに答えよ．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \sin \theta=2^n \cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2^2} \ \cdots \ \cos \frac{\theta}{2^n} \sin \frac{\theta}{2^n} \]
(2)$0<\theta<\pi$のとき，次の極限値を$\theta$を用いて表せ．
\[ \lim_{n \to \infty} \cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2^2} \ \cdots \ \cos \frac{\theta}{2^n} \]

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

(1)不等式$|2x-4|>x$を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$2 \sin^2 \theta \geqq 3 \cos \theta+3$を満たす$\theta$の値の範囲は$[　]$である．
(3)以下の数列$\{a_n\}$の階差数列は等差数列になっている．この数列$\{a_n\}$の第$21$項の値は$[　]$である．
\[ 3,\ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ \cdots \]
(4)$2$つのベクトル$\displaystyle \overrightarrow{a}=\left( x,\ \frac{1}{2} \right),\ \overrightarrow{b}=\left( 2,\ \frac{7}{2} \right)$について，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$とが垂直であるとき，実数$x$の値は$[　]$である．
(5)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2+2x}+x \right)$の値は$[　]$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を記入せよ．

$n$を$3$以上の整数とする．整数$x$を$2$進法で表す．上から$k+1$桁目（$1 \leqq k \leqq n$）の数を$a_k$とし，$x=1a_1a_2 \cdots {a_n}_{(2)}$と表す．$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は$0$か$1$である．この形の$x$は$[ア]$個ある．
このような$x$の中で値が最も小さいものは$10 \cdots 0_{(2)} (a_1=a_2=\cdots =a_n=0)$であり，$n$で表すと$2^n$である．また，最も大きいものを$n$で表すと$[イ]$である．$x=110 \cdots 0_{(2)} (a_1=1,\ a_2=\cdots =a_n=0)$のとき，$x$を$n$で表すと$[ウ]$である．
このような$x=1 a_1a_2 \cdots {a_n}_{(2)}$に対し，$x^\prime=1 a_2a_3 \cdots a_n{a_1}_{(2)}$とする．$x=x^\prime$となるようなすべての$x$を$n$で表すと$[エ]$である．
$x=110 \cdots 00_{(2)}$のとき，$x-x^\prime$を$n$で表すと$[オ]$である．
$x>x^\prime$となるような$x$は$[カ]$個ある．$x-x^\prime=1$となる$x$を$n$で表すと$[キ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは，
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である．
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき，$\tan \theta$の値は$[カ]$である．
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である．
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち，最小のものは$[ク]$である．
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある．
(7)食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$がある．食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む．食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む．栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上，栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を混合するとき，費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい．

(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき，$S$の値は$[シ]$である．