次の各問の解答を記入せよ．

(1)正の整数$a$に対して，ある整数$b$が存在して$63a-32b=1$を満たすとする．$a$はこのような性質を満たす正の整数のうちで最小のものであるとする．このとき$ab$の値を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げたとき，出た目すべての積が$4$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_n+a_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし，
\[ b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．$b_1$から$b_{2016}$までの$2016$個の整数のうち$3$の倍数であるものは全部で何個あるか．
(4)$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続な関数で$f(0)=0$，$f(1)=1$であり，$0 \leqq x_1<x_2 \leqq 1$であるすべての$x_1,\ x_2$に対して$f(x_1)<f(x_2)$を満たしているとする．$x=g(y)$を$0 \leqq y \leqq 1$で定義された$f$の逆関数とする．
\[ 5 \int_0^1 f(x) \, dx=2 \int_0^1 g(y) \, dy \]
が成立しているとき$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．

$x,\ y,\ z$の$1$次方程式
\[ x+y+z=2k-1 \quad \cdots \quad ① \]
について，次の問に答えよ．ただし，定数$k$は$k \geqq 6$を満たす整数である．

(1)方程式$①$の整数解$(x,\ y,\ z)$のうち，$x>0$，$y>0$，$z>0$をすべて満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
(2)$(1)$のうち，$x \leqq k$を満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
(3)$(1)$のうち，$x \leqq k$，$y \leqq k+1$，$z \leqq k+2$をすべて満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．

$2$つの複素数$w,\ z (z \neq 0)$の間に
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．

(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．

座標平面上の動点$\mathrm{P}_t(x,\ y)$の座標が，$t$の関数
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている．また$\mathrm{O}$を原点とする．実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して，線分$\mathrm{OP}_a$と，動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と，線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく．次の問に答えよ．

(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする．導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく．$U(n)$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．ただし設問$(2)$の空欄$[え]$には選択肢より適切な数を選んで記入しなさい．

(1)定員$2$名，$3$名，$4$名の$3$つの部屋がある．

(i) $2$人の教員と$7$人の学生の合計$9$人をこれらの$3$つの部屋に定員どおりに入れる割り当て方は$[あ]$とおりである．また，その割り当て方のなかで$2$人の教員が異なる部屋に入るようにする割り当て方は$[い]$とおりである．
(ii) $7$人の学生のみを，これらの$3$つの部屋に定員を超えないように入れる割り当て方は$[う]$とおりである．ただし誰も入らない部屋があってもよい．

(2)二元一次不定方程式$13x+11y=c$は$c=[え]$のとき$x>0$，$y>0$なる整数解をちょうど$1$組もつ．そのときの解は$(x,\ y)=([お],\ [か])$である．
\begin{waku}[$[え]$の選択肢]
$222 \quad 223 \quad 224$
\end{waku}
(3)すべての実数$m$に対して
\[ f(m)=\int_0^1 |e^x-m|e^x \, dx \]
により定義される関数$f(m)$は，$m=[き]$において最小値$[く]$をとる．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

三角形$\mathrm{ABC}$の頂点上に置かれた点$\mathrm{P}$に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．
\begin{waku}[操作$\mathrm{T}$]


\mon[$(\mathrm{T}1)$] 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$上に置かれているときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{B}$上に移す．
\mon[$(\mathrm{T}2)$] 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$上に置かれているときは，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$でそのままにしておき，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で頂点$\mathrm{C}$上に移す．
\mon[$(\mathrm{T}3)$] 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$上に置かれているときは，必ず頂点$\mathrm{A}$上に移す．

\end{waku}

以下$n,\ m$を自然数とし，点$\mathrm{P}$を頂点$\mathrm{A}$上に置いて，操作$\mathrm{T}$を繰り返し行う．操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$上に置かれている確率を$a_n$，頂点$\mathrm{B}$上に置かれている確率を$b_n$，頂点$\mathrm{C}$上に置かれている確率を$c_n$とする．

(1)$n \geqq 2$のとき$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$で表すと
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_n=[あ]a_{n-1}+[い]c_{n-1} \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
b_n=[う]a_{n-1}+[え]b_{n-1} \phantom{\frac{1}{1}} \\
c_n=[お]b_{n-1}+[か]c_{n-1} \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
\end{array} \right. \]
である．
(2)$(1)$より$a_n,\ b_n$を求めると，$a_{2m-1}=[き]$，$b_{2m-1}=[く]$であり，$a_{2m}=[け]$，$b_{2m}=[こ]$である．
(3)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき初めて点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$上に置かれる確率を$d_n$とすると，$d_n=[さ]$である．
(4)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$の上に置かれ，かつそれまでに$1$回だけ頂点$\mathrm{C}$上に置かれていた確率を$e_n$とすると，$e_n=[し]$である．

次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて，正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである．ただし，回転して一致する場合は同じものとみなす．
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする．$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき，$n=[イ]$である．
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると，$A=[ウ]$である．
(4)$k$を実数とし，$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき，$k$の値をすべて求めると，$k=[エ]$である．
(5)$a,\ b$を実数とする．$x$の$2$次式$f(x)$が，$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき，$a+b=[オ]$である．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である．
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において，$\tan \theta=2$が成り立つとき，$\cos \theta=[キ]$である．
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である．

$a$を正の整数とし，数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=1,\quad b_2=a,\quad b_{n+2}=b_{n+1}+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．さらに，$n \geqq 2$に対して，数列$\{c_n\}$を
\[ c_n=b_{n+1}b_{n-1}-{b_n}^2 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
と定める．

このとき，次の問いに答えよ．


(1)$b_3,\ b_4,\ b_5$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)$c_2,\ c_3,\ c_4$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$c_n$を$b_{n-1}$と$b_{n-2}$を用いて表せ．また，$c_{n-1}$を$b_{n-1}$と$b_{n-2}$を用いて表せ．
(4)$c_n$を$c_{n-1}$を用いて表せ．
(5)$2$以上のすべての整数$n$について，$|c_n|=1$が成り立つような$a$をすべて求めよ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)$0<\theta<\pi$とし，$t=\cos 2\theta$とおく．$\displaystyle \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$と$\displaystyle \frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$[ア]$と$[イ]$となる．$\sin 5\theta=0$となる$\theta$のうち，$0<\theta<\pi$において最小のものの値は$[ウ]$である．したがって，$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値は$[エ]$である．
(2)$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき，カードに書かれた整数を左から$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$とおく．並べ方は全部で$[オ]$通りである．そのうち$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$[カ]$通りである．また，$a_1 \neq 1$かつ$a_2 \neq 2$となる並べ方は$[キ]$通りである．
(3)$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は，$x=[ク]$のとき最小値$[ケ]$をとる．また直線$\ell$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき，$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$[コ]$である．

座標平面上の$2$直線$mx-y+1=0$，$x+my-m-2=0$の交点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$m$は実数とする．

(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．