「不等号」について
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国立 島根大学 2016年 第3問複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(-1+\sqrt{3}i)$，$\mathrm{Q}(2)$と，これら$3$点を通る円$C$がある．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
国立 島根大学 2016年 第3問$p,\ q,\ \alpha,\ \beta$を実数とし，$p>0$，$q>0$，$\alpha<\beta$とする．$2$次関数$f(x)=p^2(x-\alpha)^2$と$g(x)=q^2(x-\beta)^2$について，次の問いに答えよ．
(1)$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標で，$\alpha$と$\beta$の間にあるものを求めよ．
(2)$\alpha \leqq x \leqq \beta$において，$2$つの放物線$y=f(x)$，$y=g(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$pq=1$であるとき，$S$を最大にする$p,\ q$の値を求めよ．
(1)$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標で，$\alpha$と$\beta$の間にあるものを求めよ．
(2)$\alpha \leqq x \leqq \beta$において，$2$つの放物線$y=f(x)$，$y=g(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$pq=1$であるとき，$S$を最大にする$p,\ q$の値を求めよ．
国立 島根大学 2016年 第3問複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{P}(-1+\sqrt{3}i)$，$\mathrm{Q}(2)$と，これら$3$点を通る円$C$がある．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
(1)複素数$-1+\sqrt{3}i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$の大きさを求めよ．
(3)円$C$と虚軸との交点のうち，$\mathrm{O}$でない点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を表す複素数を求めよ．
(4)円$C$の中心を表す複素数を$c$とする．点$z$が円$C$上を動くとき，複素数$\displaystyle w=\frac{z-1}{z-c}$がえがく図形を図示せよ．
国立 福岡教育大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき
\[ \cos 2x+\cos x+1>0 \]
を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$a^2b-3a^2+5b=21$を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ．
(3)正方形の各辺を$n$等分した点から向かい合う辺に垂線を下ろす．このとき，正方形の$4$つの辺とこれらの垂線を利用してできる長方形のうち，正方形でないものの個数を$n$を用いて表せ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき
\[ \cos 2x+\cos x+1>0 \]
を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$a^2b-3a^2+5b=21$を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ．
(3)正方形の各辺を$n$等分した点から向かい合う辺に垂線を下ろす．このとき，正方形の$4$つの辺とこれらの垂線を利用してできる長方形のうち，正方形でないものの個数を$n$を用いて表せ．
国立 福岡教育大学 2016年 第3問複素数$z$は実部が$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}$，虚部は正で$|z|=1$である．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( z+\frac{1}{z} \right)^2+\left( z+\frac{1}{z} \right)$の値を求めよ．
(2)$1+z+z^2+z^3+z^4$の値を求めよ．
(3)$z$の偏角$\theta$を求めよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(1)$\displaystyle \left( z+\frac{1}{z} \right)^2+\left( z+\frac{1}{z} \right)$の値を求めよ．
(2)$1+z+z^2+z^3+z^4$の値を求めよ．
(3)$z$の偏角$\theta$を求めよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
国立 山口大学 2016年 第1問$n$を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし，
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする．$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明しなさい．
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし，
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする．また，$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し，$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく．
(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい．
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい．
(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし，
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする．$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明しなさい．
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし，
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする．また，$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し，$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく．
(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい．
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい．
国立 山口大学 2016年 第4問点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$に対して，点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ 0)$と点$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$は
\[ \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\frac{3\pi}{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}=1 \]
を満たしているとする．$b_2>0$，$c_3>0$，また，$\displaystyle p=2 \cos \frac{\pi}{5}$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，次の等式$①$を証明なしに用いてもよい．
\[ 4 \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}=1 \cdots\cdots ① \]
(1)等式$p^2=p+1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2}$であることを示しなさい．
(3)点$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を実数$k,\ l,\ m$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+l \overrightarrow{\mathrm{OB}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}} \]
と表すとき，$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}$であることを示しなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．$\displaystyle V=\frac{p}{12}$であることを示しなさい．
\[ \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\frac{3\pi}{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}=1 \]
を満たしているとする．$b_2>0$，$c_3>0$，また，$\displaystyle p=2 \cos \frac{\pi}{5}$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，次の等式$①$を証明なしに用いてもよい．
\[ 4 \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}=1 \cdots\cdots ① \]
(1)等式$p^2=p+1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2}$であることを示しなさい．
(3)点$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を実数$k,\ l,\ m$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+l \overrightarrow{\mathrm{OB}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}} \]
と表すとき，$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}$であることを示しなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．$\displaystyle V=\frac{p}{12}$であることを示しなさい．
国立 島根大学 2016年 第4問$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$xy$平面上の曲線$\displaystyle \frac{x^2}{\cos^2 \alpha}+\frac{y^2}{\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\cos^2 \alpha}$の$x \geqq 0$，$y \geqq 0$の部分を$C(\alpha)$とし，曲線$C(\alpha)$と$y$軸，および直線$y=x$で囲まれた図形を$D(\alpha)$で表す．次の問いに答えよ．
(1)曲線$C(\alpha)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ．
(2)図形$D(\alpha)$の面積$S(\alpha)$を求めよ．
(3)図形$D(\alpha)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(\alpha)$を求めよ．
(4)$(2)$，$(3)$で求めた$S(\alpha)$，$V(\alpha)$に対して，$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \frac{\{V(\alpha)\}^2}{\{S(\alpha)\}^3}$を求めよ．
(1)曲線$C(\alpha)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ．
(2)図形$D(\alpha)$の面積$S(\alpha)$を求めよ．
(3)図形$D(\alpha)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(\alpha)$を求めよ．
(4)$(2)$，$(3)$で求めた$S(\alpha)$，$V(\alpha)$に対して，$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \frac{\{V(\alpha)\}^2}{\{S(\alpha)\}^3}$を求めよ．
国立 島根大学 2016年 第4問$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$xy$平面上の曲線$\displaystyle \frac{x^2}{\cos^2 \alpha}+\frac{y^2}{\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\cos^2 \alpha}$の$x \geqq 0$，$y \geqq 0$の部分を$C(\alpha)$とし，曲線$C(\alpha)$と$y$軸，および直線$y=x$で囲まれた図形を$D(\alpha)$で表す．次の問いに答えよ．
(1)曲線$C(\alpha)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ．
(2)図形$D(\alpha)$の面積$S(\alpha)$を求めよ．
(3)図形$D(\alpha)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(\alpha)$を求めよ．
(4)$(2)$，$(3)$で求めた$S(\alpha)$，$V(\alpha)$に対して，$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \frac{\{V(\alpha)\}^2}{\{S(\alpha)\}^3}$を求めよ．
(1)曲線$C(\alpha)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ．
(2)図形$D(\alpha)$の面積$S(\alpha)$を求めよ．
(3)図形$D(\alpha)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(\alpha)$を求めよ．
(4)$(2)$，$(3)$で求めた$S(\alpha)$，$V(\alpha)$に対して，$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \frac{\{V(\alpha)\}^2}{\{S(\alpha)\}^3}$を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第5問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．