半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．

$f(x)=\log_2 (x+1)+\log_2 (x-2)-2$，$g(x)=|x(x-2)|$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする．このとき，曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$f(x)=\log_2 (x+1)+\log_2 (x-2)-2$，$g(x)=|x(x-2)|$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする．このとき，曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$f(x)=x^2-3x$とする．次の問いに答えよ．

(1)$-3 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)点$(3,\ -4)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ．
(3)放物線$y=f(x)$と$(2)$の接線で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える．$p$を正の数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする．$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ．さらに，区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ，不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする．その面積$S(p)$を求めよ．
(4)$2$辺が$x$軸，$y$軸に平行な長方形$R$を考える．$R$が図形$F$を囲んでいるとき，$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ．さらに，$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ．

楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{a^2}=1 (a>0)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(0,\ -a)$とする．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ a \sin \theta)$はこの楕円上を動く．以下の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする．$\displaystyle X=\sin \theta \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする．$f(X)$を$X$の式で表せ．
(2)$0<a<1$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し，そのときの$X$の値を求めよ．
(3)$a=2$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする．$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$b>0$，$a=2 \sqrt{3}b$とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$を$E$とする．楕円$E$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の媒介変数表示は$x=a \cos \theta$，$y=b \sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$で与えられる．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$で楕円$E$と共通の接線をもつ円を考える．このような円のうち，不等式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \geqq 1$の表す領域内にある円を$C$とする．円$C$の半径を$r(\theta)$とするとき，$C$の中心を$\theta$と$r(\theta)$を用いて表せ．
(2)$2d=11b$とし，$4$つの頂点が$(d,\ d)$，$(-d,\ d)$，$(-d,\ -d)$，$(d,\ -d)$である正方形$F$を考える．点$\mathrm{P}$が楕円$E$上を動くとき，$(1)$の円$C$の中心は正方形$F$の周上を動くとする．このとき，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，$C$の半径$r(\theta)$を求めよ．
(3)$(2)$の$r(\theta)$の$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における最大値は$\displaystyle \frac{5 \sqrt{5}}{2}b$であることを示せ．

$a$と$d$を整数とする．数列$\{a_n\}$を初項$a$，公差$d$の等差数列とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S_n$を$a,\ d,\ n$を用いて表せ．
(2)$n \leqq 34$のとき$S_n \leqq 0$，$n \geqq 35$のとき$S_n>0$であるとする．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) $S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
(ii) $S_n$の最小値が$-289$のとき，$a$と$d$の値をそれぞれ求めよ．

$6$つの整数$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$はすべて$0$以上で，次の$3$条件（ア），（イ），（ウ）をみたすとする．

（ア）\ $a>b>c>d$
（イ）\ $a=be+c$
（ウ）\ $b=cf+d$

次の問いに答えよ．

(1)$a=8$のとき，$5$つの整数$b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組をすべて求めよ．

(2)$\displaystyle c<\frac{a}{2}$が成り立つことを示せ．

(3)$\displaystyle d<\frac{a}{3}$が成り立つことを示せ．

$r>0$とするとき，関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を

$f_1(x)=e^{-rx},$

$\displaystyle f_{n+1}(x)=nre^{-(n+1)rx} \int_0^x f_n(t) e^{(n+1)rt} \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

によって定める．このとき，次の各問に答えよ．

(1)関数$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)関数$f_n(x)$を推測し，その推測が正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$n \geqq 3,\ x>0$のとき，関数$f_n(x)$の極値を求めよ．