四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし，平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし，平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$，四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき，$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，頂点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．また，四面体$\mathrm{OABC}$は
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=1,\quad \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
を満たすものとし，$\angle \mathrm{AOC}=\theta \left( 0<\theta<\displaystyle\frac{2}{3} \pi \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$を満たす$s,\ t,\ u$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OH|}}$を求めよ．
(5)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2}{3}\pi$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=14$，$\mathrm{BC}=15$，$\mathrm{CA}=13$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とする．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$について$\overrightarrow{\mathrm{CG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心$\mathrm{H}$について$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求め，外心$\mathrm{O}$について$\overrightarrow{\mathrm{CO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を求め，外心$\mathrm{I}$について$\overrightarrow{\mathrm{CI}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．

$k$を実数とする．$xy$平面の曲線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=-x^2+2kx+1-k^2$が異なる共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を持つとする．ただし点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標は正であるとする．また，原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$k$が$(1)$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S^2$を$k$を用いて表せ．
(4)$k$が$(1)$の範囲を動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大となるような$k$の値と，そのときの重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき等式
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=1 \]
が成り立つとする．$t$は実数の定数で，$0<t<1$を満たすとする．線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき，線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする．このとき，$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ．

$0<\theta<\pi$とする．単位円の周上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{C}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\mathrm{AB}=4$とする．$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点とし，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{OB}$上の点で線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$が垂直になるものとする．また，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}$を求めよ．
(4)$\mathrm{OR}:\mathrm{RP}$を求めよ．

平面上の三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$を満たしているとする．また，平面上の動点$\mathrm{P}$に対し実数$f(\mathrm{P})$を
\[ f(\mathrm{P})=\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} \]
で定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$f(\mathrm{G})$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle f(\mathrm{P})=\frac{8}{3}$となる点$\mathrm{P}$の全体は円になることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面全体を動くとき，$f(\mathrm{P})$のとりうる値の範囲を求めよ．

$\triangle \mathrm{PQR}$において$\angle \mathrm{RPQ}=\theta$，$\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{\pi}{2}$とする．点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次で定める．
\[ \mathrm{P}_1=\mathrm{P},\quad \mathrm{P}_2=\mathrm{Q},\quad \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2}=\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \]
ただし，点$\mathrm{P}_{n+2}$は線分$\mathrm{P}_n \mathrm{R}$上にあるものとする．実数$\theta_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ \theta_n=\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2} \quad (0<\theta_n<\pi) \]
で定める．

(1)$\theta_2,\ \theta_3$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta_{n+1}+\frac{\theta_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は$n$によらない定数であることを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \theta_n$を求めよ．
（図は省略）