「三角形」について
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私立 南山大学 2016年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{B}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{C}(3,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(-1,\ 0,\ 1)$がある．
(1)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る球面の半径と中心の座標を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る球面の半径と中心の座標を求めよ．
私立 南山大学 2016年 第3問$3$辺の長さが$\mathrm{OP}=5$，$\mathrm{OQ}=6$，$\mathrm{PQ}=7$である$\triangle \mathrm{OPQ}$の内心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{OI}$と辺$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおく．
(1)面積比$\triangle \mathrm{IOP}:\triangle \mathrm{IOQ}:\triangle \mathrm{IPQ}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(4)点$\mathrm{R}$を，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\overrightarrow{p}$となるようにとり，$\triangle \mathrm{OQR}$の内心を$\mathrm{J}$とする．このとき，$k \overrightarrow{\mathrm{OI}}-\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$と$\overrightarrow{p}$が平行となる$k$の値を求めよ．
(1)面積比$\triangle \mathrm{IOP}:\triangle \mathrm{IOQ}:\triangle \mathrm{IPQ}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(4)点$\mathrm{R}$を，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\overrightarrow{p}$となるようにとり，$\triangle \mathrm{OQR}$の内心を$\mathrm{J}$とする．このとき，$k \overrightarrow{\mathrm{OI}}-\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$と$\overrightarrow{p}$が平行となる$k$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である．
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である．同時に$2$本のくじを引いたとき，$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった．このとき，$n=[イ]$である．
(3)$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BC}=24$，$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$である．
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a$と$b$は実数とする．
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると，$x=[カ]$，$y=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である．このとき，直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である．
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で，関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である．
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である．同時に$2$本のくじを引いたとき，$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった．このとき，$n=[イ]$である．
(3)$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BC}=24$，$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$である．
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a$と$b$は実数とする．
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると，$x=[カ]$，$y=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である．このとき，直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である．
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で，関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである．
私立 立教大学 2016年 第3問放物線$C:y=x^2$と直線$\ell:y=kx+k (k>0)$に対し，放物線$C$と直線$\ell$の$2$個の交点を$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) (a<b)$とする．さらに，点$\mathrm{A}$における放物線$C$の接線を$m_1$，点$\mathrm{B}$における放物線$C$の接線を$m_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$m_1$の方程式を$a$を用いて表せ．また，直線$m_2$の方程式を$b$を用いて表せ．
(2)$a$と$b$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)$2$つの直線$m_1$と$m_2$の交点を$\mathrm{D}(p,\ q)$とするとき，$p$と$q$のそれぞれを$k$を用いて表せ．
(4)放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$T$を$k$を用いて表せ．
(5)$2$点$\mathrm{E}(a,\ q)$，$\mathrm{F}(b,\ q)$をとる．三角形$\mathrm{AED}$と三角形$\mathrm{BFD}$の面積の和$S$を$k$を用いて表せ．また$\displaystyle \frac{S}{T}$を求めよ．
(1)直線$m_1$の方程式を$a$を用いて表せ．また，直線$m_2$の方程式を$b$を用いて表せ．
(2)$a$と$b$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)$2$つの直線$m_1$と$m_2$の交点を$\mathrm{D}(p,\ q)$とするとき，$p$と$q$のそれぞれを$k$を用いて表せ．
(4)放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$T$を$k$を用いて表せ．
(5)$2$点$\mathrm{E}(a,\ q)$，$\mathrm{F}(b,\ q)$をとる．三角形$\mathrm{AED}$と三角形$\mathrm{BFD}$の面積の和$S$を$k$を用いて表せ．また$\displaystyle \frac{S}{T}$を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．
(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．
(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．
(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．
(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．
私立 早稲田大学 2016年 第5問複素数$z_1,\ z_2,\ z_3$を表す複素数平面上の点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=1:\sqrt{3}:2$の三角形を作るとき
\[ \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=[ヌ] \pm \sqrt{[ネ]}i \]
である．
\[ \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=[ヌ] \pm \sqrt{[ネ]}i \]
である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを記入しなさい．
(1)座標空間内の点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -2,\ -4)$，$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 6)$に対して，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{M}$とし，三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{N}$とする．このとき，点$\mathrm{M}$の座標は$[ア]$である．また，線分$\mathrm{MN}$を$4:3$に外分する点の座標は$[イ]$である．
(2)$\alpha=-1+2i$とする．$x=\alpha$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解であるような実数の組$(a,\ b)$は$(a,\ b)=[ウ]$である．また$\alpha^5+2 \alpha^4+3 \alpha^3+4 \alpha^2+5 \alpha$の値は$[エ]$である．
(3)関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=2x^2+3x+\int_0^{\frac{1}{2}} f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[オ]$である．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，以下の確率を求めなさい．
(i) 出る目の最大値が$4$以下である確率は$[カ]$である．
(ii) 出る目の最大値が$4$である確率は$[キ]$である．
(iii) 出る目の最大値が$4$であるとき，少なくとも$1$個のさいころの目が$1$である確率は$[ク]$である．
(1)座標空間内の点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -2,\ -4)$，$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 6)$に対して，三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{M}$とし，三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{N}$とする．このとき，点$\mathrm{M}$の座標は$[ア]$である．また，線分$\mathrm{MN}$を$4:3$に外分する点の座標は$[イ]$である．
(2)$\alpha=-1+2i$とする．$x=\alpha$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解であるような実数の組$(a,\ b)$は$(a,\ b)=[ウ]$である．また$\alpha^5+2 \alpha^4+3 \alpha^3+4 \alpha^2+5 \alpha$の値は$[エ]$である．
(3)関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=2x^2+3x+\int_0^{\frac{1}{2}} f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[オ]$である．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，以下の確率を求めなさい．
(i) 出る目の最大値が$4$以下である確率は$[カ]$である．
(ii) 出る目の最大値が$4$である確率は$[キ]$である．
(iii) 出る目の最大値が$4$であるとき，少なくとも$1$個のさいころの目が$1$である確率は$[ク]$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第3問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数を記入しなさい．
三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{CA}=9$とする．
このとき$\cos \angle \mathrm{A}=[チ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ツ]$である．
この三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と三角形$\mathrm{ABC}$の外接円との交点で$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\angle \mathrm{BAD}$の大きさを$\theta$（ただし，$0^\circ<\theta<{90}^\circ$）とすると$\sin \theta=[テ]$であり，線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ト]$である．また，四角形$\mathrm{ABDC}$の面積は$[ナ]$である．
三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{CA}=9$とする．
このとき$\cos \angle \mathrm{A}=[チ]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ツ]$である．
この三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と三角形$\mathrm{ABC}$の外接円との交点で$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\angle \mathrm{BAD}$の大きさを$\theta$（ただし，$0^\circ<\theta<{90}^\circ$）とすると$\sin \theta=[テ]$であり，線分$\mathrm{BD}$の長さは$[ト]$である．また，四角形$\mathrm{ABDC}$の面積は$[ナ]$である．