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国立 滋賀医科大学 2016年 第3問$a,\ b$を正の定数とし，$xy$平面上の双曲線
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする．正の実数$r,\ s$に対して，円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える．
(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき，すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき，$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ．
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を，$rs$平面上に図示せよ．
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき，極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ．
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする．正の実数$r,\ s$に対して，円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える．
(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき，すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき，$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ．
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を，$rs$平面上に図示せよ．
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき，極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ．
国立 高知大学 2016年 第2問実数の定数$k$に対して，$f(x)=|5 \sin (kx)-6 \cos (x^2)+7|$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)すべての$x$に対して，$f(x) \leqq 18$であることを示せ．
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ．
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ．
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ．
(1)すべての$x$に対して，$f(x) \leqq 18$であることを示せ．
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ．
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ．
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ．
国立 滋賀医科大学 2016年 第2問分母が奇数，分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする．例えば$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$2$はそれぞれ$\displaystyle \frac{-1}{3},\ \frac{2}{1}$と表せるから，ともに控えめな有理数である．$1$個以上の有限個の控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して，集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$を，
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める．例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから，$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である．
(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ．
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき，$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ．
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ．
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか．ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし，$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える．
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める．例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから，$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である．
(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ．
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき，$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ．
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ．
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか．ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし，$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える．
私立 東京薬科大学 2016年 第3問次の問に答えよ．
(1)$7^n$が$15$桁の自然数になるとき，整数$n=[ネノ]$である．ただし，$\log_{10}7=0.8451$とする．
(2)$(1)$の$n$に対して，$7^n$の一の位の数字は$[ハ]$である．
(3)$7^{30},\ 7^{60}$の桁数を求めるとき，$\log_{10}7$として$0.8451$のうち一つの数字を見誤ったため，それぞれ桁数は$1$だけ小さいものが得られた．このとき，$0.8451$の小数点以下第$[ヒ]$位の数字を$[フ]$と見誤ったと考えられる．
(1)$7^n$が$15$桁の自然数になるとき，整数$n=[ネノ]$である．ただし，$\log_{10}7=0.8451$とする．
(2)$(1)$の$n$に対して，$7^n$の一の位の数字は$[ハ]$である．
(3)$7^{30},\ 7^{60}$の桁数を求めるとき，$\log_{10}7$として$0.8451$のうち一つの数字を見誤ったため，それぞれ桁数は$1$だけ小さいものが得られた．このとき，$0.8451$の小数点以下第$[ヒ]$位の数字を$[フ]$と見誤ったと考えられる．
私立 早稲田大学 2016年 第4問$3$点$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を頂点とする三角形を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{D}$の$1$辺を選び，その中点を中心として$\mathrm{D}$を${180}^\circ$回転させる．このようにして$\mathrm{D}$から得られる$3$個の三角形からなる集合を$S_1$とする．$S_1$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる．このようにして$S_1$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_2$とする．$S_2$は$7$個の三角形からなる集合であり，その中には$\mathrm{D}$も含まれる．一般に，自然数$n$に対して$S_n$まで定義されたとき，$S_n$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる．このようにして$S_n$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_{n+1}$とする．次の問に答えよ．
(1)$S_3$の要素を全て図示せよ．
(2)$m$を自然数とする．$S_{2m}$から一つ三角形を選び，その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える．三角形の選び方をすべて考えたときの，この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ．
(1)$S_3$の要素を全て図示せよ．
(2)$m$を自然数とする．$S_{2m}$から一つ三角形を選び，その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える．三角形の選び方をすべて考えたときの，この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ．
私立 獨協医科大学 2016年 第4問次の問いに答えなさい．ただし，$[チ]$には$[$\mathrm{X]$}$～$[$\mathrm{Z]$}$に入る言葉の組合せとして最も適切なものを，下の選択肢$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$のうちから一つ選びなさい．
複素数$\alpha$を$\alpha=-7+4 \sqrt{3}i$とし，実数の数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_n+4 \sqrt{3} b_n i=\alpha^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位である．$a_n$と$b_n$を$\alpha$とその共役な複素数$\overline{\alpha}$で表すと
\[ a_n=\frac{\alpha^n+(\overline{\alpha})^n}{[ア]},\quad b_n=\frac{\alpha^n-(\overline{\alpha})^n}{[イ] \sqrt{[ウ]}i} \]
となるので，数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は漸化式
$a_{n+2}+[エオ]a_{n+1}+[カキ]a_n=0 \quad \cdots\cdots \ ①$
$b_{n+2}+[エオ]b_{n+1}+[カキ]b_n=0 \quad\;\;\!\! \cdots\cdots \ ②$
を満たす．これらを用いて，すべての自然数$n$に対して
$a_n$と$b_n$が互いに素な整数である $\quad \cdots\cdots \ (*)$
ことを，数学的帰納法により証明する．
(i) $n=1,\ 2$のとき
\[ a_1=[クケ],\quad b_1=[コ],\quad a_2=[サ],\quad b_2=[シスセ] \]
であるから，$(*)$が成り立つ．
(ii) $n=k,\ k+1$のとき$(*)$が成り立つと仮定する．
まず$①,\ ②$より，$a_{k+2},\ b_{k+2}$は$[$\mathrm{X]$}$である．ここで
\[ {a_n}^2+48{b_n}^2=[ソタ]^n \quad \cdots\cdots \ ③ \]
がすべての自然数$n$で成り立つ．$[ソタ]$が$[$\mathrm{Y]$}$であるから，$a_{k+2},\ b_{k+2}$が$[$\mathrm{Z]$}$と仮定すると$③$より，これら$2$数は$[ソタ]$の倍数でなければならない．ところが，このとき$①,\ ②$より$a_{k+1},\ b_{k+1}$は$[ソタ]$の倍数となり，数学的帰納法の仮定と矛盾する．よって，$n=k+2$のときも$(*)$が成り立つ．
$(ⅰ),\ (ⅱ)$より，すべての自然数$n$について$(*)$が成り立つ．
$[チ]$の選択肢
\[ \begin{array}{ccccccccc}
& \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} & & & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} \\
\nagamaruichi & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruni & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarusan & \text{素数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamarushi & \text{整数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarugo & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruroku & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素である}
\end{array} \]
複素数$\alpha$を$\alpha=-7+4 \sqrt{3}i$とし，実数の数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_n+4 \sqrt{3} b_n i=\alpha^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位である．$a_n$と$b_n$を$\alpha$とその共役な複素数$\overline{\alpha}$で表すと
\[ a_n=\frac{\alpha^n+(\overline{\alpha})^n}{[ア]},\quad b_n=\frac{\alpha^n-(\overline{\alpha})^n}{[イ] \sqrt{[ウ]}i} \]
となるので，数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は漸化式
$a_{n+2}+[エオ]a_{n+1}+[カキ]a_n=0 \quad \cdots\cdots \ ①$
$b_{n+2}+[エオ]b_{n+1}+[カキ]b_n=0 \quad\;\;\!\! \cdots\cdots \ ②$
を満たす．これらを用いて，すべての自然数$n$に対して
$a_n$と$b_n$が互いに素な整数である $\quad \cdots\cdots \ (*)$
ことを，数学的帰納法により証明する．
(i) $n=1,\ 2$のとき
\[ a_1=[クケ],\quad b_1=[コ],\quad a_2=[サ],\quad b_2=[シスセ] \]
であるから，$(*)$が成り立つ．
(ii) $n=k,\ k+1$のとき$(*)$が成り立つと仮定する．
まず$①,\ ②$より，$a_{k+2},\ b_{k+2}$は$[$\mathrm{X]$}$である．ここで
\[ {a_n}^2+48{b_n}^2=[ソタ]^n \quad \cdots\cdots \ ③ \]
がすべての自然数$n$で成り立つ．$[ソタ]$が$[$\mathrm{Y]$}$であるから，$a_{k+2},\ b_{k+2}$が$[$\mathrm{Z]$}$と仮定すると$③$より，これら$2$数は$[ソタ]$の倍数でなければならない．ところが，このとき$①,\ ②$より$a_{k+1},\ b_{k+1}$は$[ソタ]$の倍数となり，数学的帰納法の仮定と矛盾する．よって，$n=k+2$のときも$(*)$が成り立つ．
$(ⅰ),\ (ⅱ)$より，すべての自然数$n$について$(*)$が成り立つ．
$[チ]$の選択肢
\[ \begin{array}{ccccccccc}
& \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} & & & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} \\
\nagamaruichi & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruni & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarusan & \text{素数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamarushi & \text{整数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarugo & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruroku & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素である}
\end{array} \]
公立 岡山県立大学 2016年 第2問次の問いに答えよ．
(1)実数$a,\ b,\ c$が$a+b+c=5$かつ$ab+bc+ca=4+abc$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の少なくとも一つは$1$であることを示せ．
(2)$x^2-4x+1=0$のとき，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$，$\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}$の値を求めよ．
(3)次の関数を微分せよ．
\[ y=x^{\cos x} \quad (x>0) \]
(1)実数$a,\ b,\ c$が$a+b+c=5$かつ$ab+bc+ca=4+abc$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の少なくとも一つは$1$であることを示せ．
(2)$x^2-4x+1=0$のとき，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$，$\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}$の値を求めよ．
(3)次の関数を微分せよ．
\[ y=x^{\cos x} \quad (x>0) \]
問題集 センター試験 2015年 第1問$2$次関数
\[ y=-x^2+2x+2 \cdots\cdots① \]
のグラフの頂点の座標は$([ア],\ [イ])$である．また
\[ y=f(x) \]
は$x$の$2$次関数で，そのグラフは，$①$のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする．
(1)下の$[ウ],\ [オ]$には，次の$\nagamarurei$～$\nagamarushi$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\[ \nagamarurei > \qquad \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni \geqq \qquad \nagamarusan \leqq \qquad \nagamarushi \neq \]
$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [ウ] [エ] \]
であり，最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [オ] [カ] \]
である．
(2)$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは
\[ p=\frac{[キク]}{[ケ]},\quad q=\frac{[コサ]}{[シ]} \]
のときである．
\[ y=-x^2+2x+2 \cdots\cdots① \]
のグラフの頂点の座標は$([ア],\ [イ])$である．また
\[ y=f(x) \]
は$x$の$2$次関数で，そのグラフは，$①$のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする．
(1)下の$[ウ],\ [オ]$には，次の$\nagamarurei$～$\nagamarushi$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\[ \nagamarurei > \qquad \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni \geqq \qquad \nagamarusan \leqq \qquad \nagamarushi \neq \]
$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [ウ] [エ] \]
であり，最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [オ] [カ] \]
である．
(2)$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは
\[ p=\frac{[キク]}{[ケ]},\quad q=\frac{[コサ]}{[シ]} \]
のときである．
問題集 センター試験 2015年 第2問$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く．
(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．
$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．
このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．
直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．
(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．
$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．
このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．
直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．
国立 鹿児島大学 2015年 第7問次の各問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．
(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．