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滋賀医科大学 国立 滋賀医科大学 2016年 第3問
$a,\ b$を正の定数とし,$xy$平面上の双曲線
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする.正の実数$r,\ s$に対して,円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える.

(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき,すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき,$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ.
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を,$rs$平面上に図示せよ.
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき,極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ.
高知大学 国立 高知大学 2016年 第2問
実数の定数$k$に対して,$f(x)=|5 \sin (kx)-6 \cos (x^2)+7|$とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)すべての$x$に対して,$f(x) \leqq 18$であることを示せ.
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき,$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ.
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき,$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ.
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ.
滋賀医科大学 国立 滋賀医科大学 2016年 第2問
分母が奇数,分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする.例えば$\displaystyle -\frac{1}{3}$,$2$はそれぞれ$\displaystyle \frac{-1}{3},\ \frac{2}{1}$と表せるから,ともに控えめな有理数である.$1$個以上の有限個の控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して,集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$を,
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める.例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから,$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である.

(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ.
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき,$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ.
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ.
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか.ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし,$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える.
東京薬科大学 私立 東京薬科大学 2016年 第3問
次の問に答えよ.

(1)$7^n$が$15$桁の自然数になるとき,整数$n=[ネノ]$である.ただし,$\log_{10}7=0.8451$とする.
(2)$(1)$の$n$に対して,$7^n$の一の位の数字は$[ハ]$である.
(3)$7^{30},\ 7^{60}$の桁数を求めるとき,$\log_{10}7$として$0.8451$のうち一つの数字を見誤ったため,それぞれ桁数は$1$だけ小さいものが得られた.このとき,$0.8451$の小数点以下第$[ヒ]$位の数字を$[フ]$と見誤ったと考えられる.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2016年 第4問
$3$点$(0,\ 0)$,$(1,\ 0)$,$(0,\ 1)$を頂点とする三角形を$\mathrm{D}$とする.$\mathrm{D}$の$1$辺を選び,その中点を中心として$\mathrm{D}$を${180}^\circ$回転させる.このようにして$\mathrm{D}$から得られる$3$個の三角形からなる集合を$S_1$とする.$S_1$から一つ三角形を選び,さらにその三角形の$1$辺を選び,その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる.このようにして$S_1$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_2$とする.$S_2$は$7$個の三角形からなる集合であり,その中には$\mathrm{D}$も含まれる.一般に,自然数$n$に対して$S_n$まで定義されたとき,$S_n$から一つ三角形を選び,さらにその三角形の$1$辺を選び,その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる.このようにして$S_n$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_{n+1}$とする.次の問に答えよ.

(1)$S_3$の要素を全て図示せよ.
(2)$m$を自然数とする.$S_{2m}$から一つ三角形を選び,その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える.三角形の選び方をすべて考えたときの,この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ.
獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2016年 第4問
次の問いに答えなさい.ただし,$[チ]$には$[$\mathrm{X]$}$~$[$\mathrm{Z]$}$に入る言葉の組合せとして最も適切なものを,下の選択肢$\nagamaruichi$~$\nagamaruroku$のうちから一つ選びなさい.

複素数$\alpha$を$\alpha=-7+4 \sqrt{3}i$とし,実数の数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_n+4 \sqrt{3} b_n i=\alpha^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.ただし,$i$は虚数単位である.$a_n$と$b_n$を$\alpha$とその共役な複素数$\overline{\alpha}$で表すと
\[ a_n=\frac{\alpha^n+(\overline{\alpha})^n}{[ア]},\quad b_n=\frac{\alpha^n-(\overline{\alpha})^n}{[イ] \sqrt{[ウ]}i} \]
となるので,数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は漸化式

$a_{n+2}+[エオ]a_{n+1}+[カキ]a_n=0 \quad \cdots\cdots \ ①$
$b_{n+2}+[エオ]b_{n+1}+[カキ]b_n=0 \quad\;\;\!\! \cdots\cdots \ ②$

を満たす.これらを用いて,すべての自然数$n$に対して

$a_n$と$b_n$が互いに素な整数である $\quad \cdots\cdots \ (*)$

ことを,数学的帰納法により証明する.

(i) $n=1,\ 2$のとき
\[ a_1=[クケ],\quad b_1=[コ],\quad a_2=[サ],\quad b_2=[シスセ] \]
であるから,$(*)$が成り立つ.
(ii) $n=k,\ k+1$のとき$(*)$が成り立つと仮定する.
まず$①,\ ②$より,$a_{k+2},\ b_{k+2}$は$[$\mathrm{X]$}$である.ここで
\[ {a_n}^2+48{b_n}^2=[ソタ]^n \quad \cdots\cdots \ ③ \]
がすべての自然数$n$で成り立つ.$[ソタ]$が$[$\mathrm{Y]$}$であるから,$a_{k+2},\ b_{k+2}$が$[$\mathrm{Z]$}$と仮定すると$③$より,これら$2$数は$[ソタ]$の倍数でなければならない.ところが,このとき$①,\ ②$より$a_{k+1},\ b_{k+1}$は$[ソタ]$の倍数となり,数学的帰納法の仮定と矛盾する.よって,$n=k+2$のときも$(*)$が成り立つ.

$(ⅰ),\ (ⅱ)$より,すべての自然数$n$について$(*)$が成り立つ.

$[チ]$の選択肢
\[ \begin{array}{ccccccccc}
& \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} & & & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} \\
\nagamaruichi & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruni & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarusan & \text{素数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamarushi & \text{整数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarugo & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruroku & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素である}
\end{array} \]
岡山県立大学 公立 岡山県立大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)実数$a,\ b,\ c$が$a+b+c=5$かつ$ab+bc+ca=4+abc$を満たすとき,$a,\ b,\ c$の少なくとも一つは$1$であることを示せ.
(2)$x^2-4x+1=0$のとき,$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$,$\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}$の値を求めよ.
(3)次の関数を微分せよ.
\[ y=x^{\cos x} \quad (x>0) \]
センター試験 問題集 センター試験 2015年 第1問
$2$次関数
\[ y=-x^2+2x+2 \cdots\cdots① \]
のグラフの頂点の座標は$([ア],\ [イ])$である.また
\[ y=f(x) \]
は$x$の$2$次関数で,そのグラフは,$①$のグラフを$x$軸方向に$p$,$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする.

(1)下の$[ウ],\ [オ]$には,次の$\nagamarurei$~$\nagamarushi$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ.ただし,同じものを繰り返し選んでもよい.
\[ \nagamarurei > \qquad \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni \geqq \qquad \nagamarusan \leqq \qquad \nagamarushi \neq \]
$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [ウ] [エ] \]
であり,最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [オ] [カ] \]
である.

(2)$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは
\[ p=\frac{[キク]}{[ケ]},\quad q=\frac{[コサ]}{[シ]} \]
のときである.
センター試験 問題集 センター試験 2015年 第2問
$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く.

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを,下の$\nagamarurei$~$\nagamarusan$のうちから一つ選べ.

命題「($p_1$かつ$p_2$) $\Longrightarrow$ ($q_1$かつ$q_2$)」の対偶は$[ア]$である.

$\nagamarurei$ ($\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$)
$\nagamaruichi$ ($\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$)
$\nagamaruni$ ($\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$)
$\nagamarusan$ ($\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$)
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める.
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「($p_1$かつ$p_2$) $\Longrightarrow$ ($\overline{q_1}$かつ$q_2$)」
の反例となる.
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{BC}=5$,$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする.

このとき,$\mathrm{AC}=[オ]$,$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり,
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である.

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を,$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角,となるようにとる.点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし,$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると,$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2015年 第7問
次の各問いに答えよ.ただし,$i$は虚数単位とする.

(1)方程式$z^4=-1$を解け.
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする.複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき,複素数$\beta$を$\alpha$で表せ.
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき,点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか.
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「一つ」とは・・・

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