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熊本大学 国立 熊本大学 2016年 第2問
$1$つのさいころを$3$回投げる.$1$回目に出る目の数,$2$回目に出る目の数,$3$回目に出る目の数をそれぞれ$X_1,\ X_2,\ X_3$とし,$5$つの数
\[ 2,\quad 5,\quad 2-X_1,\quad 5+X_2,\quad X_3 \]
からなるデータを考える.以下の問いに答えよ.

(1)データの範囲が$7$以下である確率を求めよ.
(2)$X_3$がデータの中央値に等しい確率を求めよ.
(3)$X_3$がデータの平均値に等しい確率を求めよ.
(4)データの中央値と平均値が一致するとき,$X_3$が中央値に等しい条件付き確率を求めよ.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第5問
$n$を$2$以上の自然数とする.次の問いに答えよ.

(1)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし,
\[ f(a)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k-a)^2 \]
とする.$f(a)$を最小にする$a$は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の平均値で,そのときの最小値は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の分散であることを示せ.
(2)$c$を定数として,変量$y,\ z$の$k$番目のデータの値が

$y_k=k\phantom{c} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
$z_k=ck \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$

であるとする.このとき$y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n$の分散が$z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$の分散より大きくなるための$c$の必要十分条件を求めよ.
(3)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし,その平均値を$\overline{x}$とする.新たにデータを得たとし,その値を$x_{n+1}$とする.$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$の平均値を$x_{n+1},\ \overline{x}$および$n$を用いて表せ.
(4)次の$40$個のデータの平均値,分散,中央値を計算すると,それぞれ,ちょうど$40,\ 670,\ 35$であった.

\begin{tabular}{|rrrrrrrrrr|}
\hline
$120$ & $10$ & $60$ & $70$ & $30$ & $20$ & $20$ & $30$ & $20$ & $60$ \\
$40$ & $50$ & $40$ & $10$ & $30$ & $40$ & $40$ & $30$ & $20$ & $70$ \\
$100$ & $20$ & $20$ & $40$ & $40$ & $60$ & $70$ & $20$ & $50$ & $10$ \\
$30$ & $10$ & $50$ & $80$ & $10$ & $30$ & $70$ & $10$ & $60$ & $10$ \\ \hline
\end{tabular}


新たにデータを得たとし,その値が$40$であった.このとき,$41$個のすべてのデータの平均値,分散,中央値を求めよ.ただし,得られた値が整数でない場合は,小数第$1$位を四捨五入せよ.
信州大学 国立 信州大学 2016年 第1問
$2$つの変量$x,\ y$のデータが,$n$個の$x,\ y$の値の組として
\[ (x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2),\ \cdots,\ (x_n,\ y_n) \]
のように与えられているとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$x,\ y$の平均値をそれぞれ$\overline{x},\ \overline{y}$とするとき,変量$x$と$y$の共分散$s_{xy}$は
\[ s_{xy}=\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n x_ky_k \right)-\overline{x} \; \overline{y} \]
であることを示せ.
(2)これらのデータの間には,$y_k=ax_k+b (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$という関係があるとする.ただし,$a,\ b$は実数で,$a \neq 0$である.変量$x$の標準偏差$s_x$は$0$でないとする.このとき,$x$と$y$の相関係数を求めよ.
山梨大学 国立 山梨大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$の直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において,$3$辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$上の点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{AQ}$,$\mathrm{BR}$,$\mathrm{CP}$は$1$点で交わり,$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=3:1$かつ$\angle \mathrm{ARB}={60}^\circ$とする.このとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}}$を求めよ.
(2)複素数$z$の方程式$z^4=-8-8 \sqrt{3}i$の解をすべて求めよ.
(3)初項$a_1=3$,公差$4$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.また,$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$の$n$個の値からなるデータの平均値$m$および分散$s^2$を,$n$を用いた式で表せ.
南山大学 私立 南山大学 2016年 第1問
$[ ]$の中に答を入れよ.

(1)$2$つの関数$f(x)=|x|$,$g(x)=ax+a^2+3a+1$がある.$g(0)>f(0)$となるとき,$a$のとりうる値の範囲は$[ア]$である.また,$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつとき,$a$のとりうる値の範囲は$[イ]$である.
(2)次のデータは,$5$個の乾電池について,ある実験で用いたときの持続時間$x$を調べたものである.
\[ 103, 93, 98, 88, 108 \text{(時間)} \]
$x$の平均値は$[ウ]$時間であり,$x$の分散を求めると$[エ]$である.
(3)$a_1=99$,$a_{n+1}=2a_n-100 (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について,一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=[オ]$であり,$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$の値を求めると$n=[カ]$である.
(4)$x$と$y$は$0<x<y$,$\log_2 x+2 \log_4 y=1$,$(\log_2 x)(\log_4 y)=-6$を満たす.$s=\log_2 x$,$t=\log_2 y$とおき$s+t$と$st$の値を求めると$(s+t,\ st)=[キ]$である.また,$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ク]$である.
神戸薬科大学 私立 神戸薬科大学 2016年 第7問
次の$5$つのデータがあった.
\[ 5,\ 2,\ 8,\ 10,\ 5 \]

(1)このとき,第$1$四分位数$=[ヌ]$,中央値$=[ネ]$である.
(2)分散を求めると$[ノ]$である.
星薬科大学 私立 星薬科大学 2016年 第1問
$2$つの変量$x,\ y$の$16$個のデータ$(x_1,\ y_1)$,$(x_2,\ y_2)$,$\cdots$,$(x_{16},\ y_{16})$が

$x_1+x_2+\cdots +x_{16}=72,$
$y_1+y_2+\cdots +y_{16}=120,$
${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_{16}}^2=349,$
${y_1}^2+{y_2}^2+\cdots +{y_{16}}^2=925,$
$x_1y_1+x_2y_2+\cdots +x_{16}y_{16}=545$

を満たしているとき,次の問に小数で答えよ.

(1)変量$x,\ y$のデータの平均をそれぞれ$\overline{x},\ \overline{y}$とすると,
\[ \overline{x}=[$1$]. [$2$],\quad \overline{y}=[$3$]. [$4$] \]
である.
(2)変量$x,\ y$のデータの標準偏差をそれぞれ$s_x,\ s_y$とすると,
\[ s_x=[$5$]. [$6$][$7$],\quad s_y=[$8$]. [$9$][$10$] \]
である.また,変量$x,\ y$のデータの共分散を$s_{xy}$とすると,
\[ s_{xy}=[$11$]. \kakkofour{$12$}{$13$}{$14$}{$15$} \]
である.
(3)変量$x,\ y$のデータの相関係数を$r$とすると,$r=[$16$]. [$17$]$である.
成城大学 私立 成城大学 2016年 第3問
$2$つの変量$x,\ y$についてのデータが,$\mathrm{A}$から$\mathrm{J}$までの$10$個の$x,\ y$の組として与えられているとする.


\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ & $\mathrm{D}$ & $\mathrm{E}$ & $\mathrm{F}$ & $\mathrm{G}$ & $\mathrm{H}$ & $\mathrm{I}$ & $\mathrm{J}$ \\ \hline
$x$ & $1$ & $2$ & $2$ & $1$ & $1$ & $3$ & $3$ & $1$ & $3$ & $3$ \\ \hline
$y$ & $4$ & $1$ & $1$ & $1$ & $4$ & $4$ & $4$ & $1$ & $1$ & $1$ \\ \hline
\end{tabular}



(1)$2$つの変量$x,\ y$のデータの最頻値をそれぞれ求めよ.
(2)$2$つの変量$x,\ y$のデータの平均値をそれぞれ求めよ.
(3)$2$つの変量$x,\ y$のデータの第$1$四分位数,第$2$四分位数,第$3$四分位数をそれぞれ求めよ.
(4)$2$つの変量$x,\ y$のデータの分散をそれぞれ求めよ.
(5)$2$つの変量$x,\ y$の相関係数を$r$で表すとき,$r^2$の値を求めよ.
東邦大学 私立 東邦大学 2016年 第15問
$2$つの変量をもつ$100$個のデータ$(x_1,\ y_1)$,$(x_2,\ y_2)$,$\cdots$,$(x_{100},\ y_{100})$が,
\[ \sum_{i=1}^{100} {x_i}^2=500,\quad \sum_{i=1}^{100} {y_i}^2=900,\quad \sum_{i=1}^{100} x_iy_i=500 \]
を満たす場合を考える.$\displaystyle X=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} x_i$および$\displaystyle Y=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} y_i$とするとき,点$(X,\ Y)$の存在範囲は不等式$\displaystyle \frac{(Y-X)^2}{[シ]}+\frac{X^2}{[ス]} \leqq 1$の表す領域である.また,$|X+Y|$のとり得る値の範囲は$0 \leqq |X+Y| \leqq [セ] \sqrt{[ソ]}$である.
千葉工業大学 私立 千葉工業大学 2016年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)$\displaystyle \frac{3-i}{3+i}=\frac{[ア]-[イ]i}{[ウ]}$(ただし,$i^2=-1$)である.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2(k-4)x+2k=0$が重解をもつような定数$k$の値は小さい順に$[エ]$,$[オ]$である.
(3)$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2-6x+35$のグラフは,放物線$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2$を$x$軸方向に$[カ]$,$y$軸方向に$[キ]$だけ平行移動した放物線である.
(4)$10$個の値$1,\ 3,\ 8,\ 5,\ 8,\ [ク],\ 3,\ 7,\ 7,\ 1$からなるデータの平均値は$5$,最頻値は$[ケ]$,中央値は$[コ]$である.
(5)$x>0$において,$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right) \left( 2-\frac{9}{x} \right)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}$のとき,最小値$[スセ]$をとる.
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個の数字を使ってできる$3$桁の整数は$[ソタ]$個あり,そのうち偶数のものは$[チツ]$個ある.
(7)$0 \leqq \theta<2\pi$とする.$\displaystyle \cos 3\theta=\frac{1}{2}$をみたす$\theta$のうち,最大のものは$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]} \pi$である.
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^3-3x+2) \, dx=\frac{[ニヌ]}{[ネ]}$である.
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