$2$つの変量$x,\ y$のデータが，$n$個の$x,\ y$の値の組として \[ (x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2),\ \cdots,\ (x_n,\ y_n) \] のように与えられているとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $x,\ y$の平均値をそれぞれ$\overline{x},\ \overline{y}$とするとき，変量$x$と$y$の共分散$s_{xy}$は \[ s_{xy}=\frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n x_ky_k \right)-\overline{x} \; \overline{y} \] であることを示せ．
(2) これらのデータの間には，$y_k=ax_k+b \ \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$という関係があるとする．ただし，$a,\ b$は実数で，$a \neq 0$である．変量$x$の標準偏差$s_x$は$0$でないとする．このとき，$x$と$y$の相関係数を求めよ．