次の問いに答えなさい．

(1)$m$を実数の定数とする．$x$についての$2$つの$2$次不等式

$x^2-4x+3<0 \qquad\hspace{2.65mm} \cdots\cdots \ ①$
$x^2-2mx-8m^2<0 \cdots\cdots \ ②$

を考える．$①$の解は
\[ [ア]<x<[イ] \]
である．
$①$を満たすすべての実数が$②$を満たすような$m$の値の範囲は
\[ m \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}, \frac{[カ]}{[キ]} \leqq m \]
である．
また，$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在しないような$m$の値の範囲は
\[ \frac{[クケ]}{[コ]} \leqq m \leqq \frac{[サ]}{[シ]} \]
である．
(2)$4$進法で表された$123_{(4)}$を$10$進法で表すと，$[スセ]$である．
整数$n$を$4$進法で表したとき，$3$桁になった．このとき，$n$のとり得る値の範囲を$10$進法で表すと
\[ [ソタ] \leqq n \leqq [チツ] \]
である．
$10$進法で表された$3^{20}$を$4$進法で表すと，その桁数は$[テト]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{3-i}{3+i}=\frac{[ア]-[イ]i}{[ウ]}$（ただし，$i^2=-1$）である．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2(k-4)x+2k=0$が重解をもつような定数$k$の値は小さい順に$[エ]$，$[オ]$である．
(3)$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2-6x+35$のグラフは，放物線$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2$を$x$軸方向に$[カ]$，$y$軸方向に$[キ]$だけ平行移動した放物線である．
(4)$10$個の値$1,\ 3,\ 8,\ 5,\ 8,\ [ク],\ 3,\ 7,\ 7,\ 1$からなるデータの平均値は$5$，最頻値は$[ケ]$，中央値は$[コ]$である．
(5)$x>0$において，$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right) \left( 2-\frac{9}{x} \right)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}$のとき，最小値$[スセ]$をとる．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個の数字を使ってできる$3$桁の整数は$[ソタ]$個あり，そのうち偶数のものは$[チツ]$個ある．
(7)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$\displaystyle \cos 3\theta=\frac{1}{2}$をみたす$\theta$のうち，最大のものは$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]} \pi$である．
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^3-3x+2) \, dx=\frac{[ニヌ]}{[ネ]}$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$．

(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で，$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である．

(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である．このとき，$A$，$B$，$C$は，
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である．
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は，$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である．
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき，
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である．
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は，$x=[ハ]$のとき，最大値$[ヒフ]$をとり，$x=[ヘ]$のとき，最小値$[ホ]$をとる．
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき，


$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$


が成り立つ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．四角形$\mathrm{DBCE}$は円$\mathrm{O}$に内接しており，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AD}=\mathrm{DE}$とする．

(1)$\mathrm{AD}=\sqrt{[ア]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．

(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$であり，$\mathrm{DC}=\sqrt{[カキ]}$である．

(3)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケコサ]}}{[シス]}$である．

(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ \frac{[セソ] \sqrt{[タチ]}-[ツ] \sqrt{[テト]}}{[ナニ]} \]
である．

$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．四角形$\mathrm{DBCE}$は円$\mathrm{O}$に内接しており，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AD}=\mathrm{DE}$とする．

(1)$\mathrm{AD}=\sqrt{[ア]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．

(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$であり，$\mathrm{DC}=\sqrt{[カキ]}$である．

(3)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケコサ]}}{[シス]}$である．

(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ \frac{[セソ] \sqrt{[タチ]}-[ツ] \sqrt{[テト]}}{[ナニ]} \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$のとき，
\[ xy=\frac{[ア]}{[イ]},\quad x+y=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(2)$a,\ b$を定数とする．不等式$x-2a \leqq 3x+b \leqq x+2$の解が$4 \leqq x \leqq 5$であるとき，$a=[カ]$，$b=[キク]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x-5=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，

$m \leqq \alpha<m+1$を満たす整数$m$の値は$m=[ケコ]$，
$n \leqq \beta<n+1$を満たす整数$n$の値は$n=[サ]$

である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使ってできる$4$桁の整数のうち，$2$の倍数は$[シスセ]$個ある．ただし，同じ数字をくり返し使わないものとする．
(5)方程式$5x+7y=1 \cdots\cdots①$の整数解$x,\ y$を求める．
$5 \cdot 3+7 \cdot ([ソタ])=1 \cdots\cdots②$が成り立ち，$①,\ ②$から
\[ 5(x-3)+7(y+[チ])=0 \]
が成り立つ．よって，$x-3=[ツ]n$（$n$は整数）とおけるから，$①$のすべての整数解は
\[ x=[ツ]n+3,\quad y=[テト]n-[チ] \quad (n \text{は整数}) \]
と表せる．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{16}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[アイ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]}$であり，その内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(7)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3} (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$のとき，$\displaystyle \sin^2 \theta-\cos^2 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コ]}$である．
(8)箱の中に赤玉$1$個，黄玉$2$個，白玉$2$個の計$5$個の玉がある．この$5$個の玉から$1$個の玉を取り出し，その色を確認して元に戻す．この試行をくり返して，赤玉を取り出すか，または，黄玉を$2$回取り出したときに試行を終了するものとする．このとき，$3$回目の試行で終了する確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセソ]}$である．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
座標平面において媒介変数表示された曲線
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
を考え，この曲線で囲まれた図形を$D$とする．右図はこの曲線の概形を表す．

(1)この曲線上の点$(x,\ y)$の$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ア]}$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\ [エ] \right)$であり，$y$座標が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ [ケコ] \right)$である．また，この曲線が原点以外の点で$x$軸と交わるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[サ]}$のときで，その交点の$x$座標は$[シ]$である．

(2)$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{dy}{dx}=[ス]$であり，$\displaystyle \lim_{t \to \pi-0} \frac{dy}{dx}=[セソ]$である．

(3)図形$D$の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]} \pi$である．

\end{mawarikomi}

次の問いに答えなさい．

(1)定数$a$を正の実数とする．関数
\[ f(\theta)=4 \sin 2\theta+6 \cos^2 \theta+4a(\sin \theta+2 \cos \theta)+a^2+1 \]
の$0 \leqq \theta \leqq \pi$における最大値を$M$，最小値を$m$とする．
$t=\sin \theta+2 \cos \theta$とおく．$f(\theta)$を$t$を用いて表すと
\[ f(\theta)=[ア]t^2+4at+a^2-[イ] \]
である．
$M=a^2+[ウ] \sqrt{[エ]}a+[オ]$であり，これを与える$\theta$の値を$\theta_0$とすると，$\displaystyle \tan \theta_0=\frac{[カ]}{[キ]}$である．
また，$M-m=14$となる$a$の値は，$a=\sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]}$である．
(2)定数$m$を正の整数とする．
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(21,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ m)$がある．点$(1,\ 0)$と直線$\mathrm{AB}$との距離を$d$とすると
\[ d=\frac{[コサ]m}{\sqrt{m^2+[シスセ]}} \]
である．
$d$が有理数となるような$m$の値は全部で$[ソ]$個あり，そのうち$m$の値が最大のものは$m=[タチツ]$である．
また，$d$が整数となるとき，$m=[テト]$，$d=[ナニ]$である．

$3$次関数$f(x)$は$x=-1$と$x=-5$で極値をとり，$f(0)=14$，$f(1)=64$とする．

(1)$f(x)=[ア]x^3+[イウ]x^2+[エオ]x+[カキ]$であり，
$f^\prime(x)=[ク]x^2+[ケコ]x+[サシ]$である．
(2)$f(x)$の極大値は$[スセ]$であり，極小値は$[ソ]$である．
(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数は$[タ]$個である．
(4)$f^\prime(x)=g(x)$とおく．曲線$y=g(x)$と$x$軸とで囲まれる図形$A$の面積は$[チツ]$である．図形$A$が直線$x=a$によって$2$つに分割され，左側と右側の部分の面積の比が$5:27$であるならば，$a$の値は$[テト]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)=|\displaystyle\frac{7|{2}x-3}-x$とする．方程式$f(x)=0$の解は，小さい順に，$\displaystyle x=\frac{[ア]}{[イ]}$，$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．

折れ線$L:y=|f(x)|$と直線$y=k$（ただし，$k$は定数）がちょうど$3$点を共有するのは$\displaystyle k=\frac{[オ]}{[カ]}$のときであり，$L$と直線$y=mx-1$（ただし，$m$は定数）がちょうど$3$点を共有するのは$\displaystyle m=\frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケコ]}{[サ]}$のときである．

(2)三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$に対して，等式$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+5 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$（ただし，$k$は実数）が成り立つ．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{k+[シ]}{[スセ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分するとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[チ]}{[ツ]} \overrightarrow{\mathrm{AQ}},\quad k=\frac{[テト]}{[ナ]} \]
である．