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東北医科薬科大学 私立 東北医科薬科大学 2016年 第3問
放物線$y=1-4x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$と,この放物線の点$\mathrm{P}$を通る接線を$\ell$とおく.また,直線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$とで囲まれる図形の面積を$S(a)$とおく.このとき,次の問に答えなさい.

(1)$a=0$のとき,接線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$の交点の$x$座標は$x=[アイ]$,$[ウ]$である.また,$\displaystyle S(0)=\frac{[エオ]}{[カ]}$である.

(2)$0 \leqq b$となるような$a$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \leqq a \leqq \frac{[コ]}{[サ]}$である.

(3)接線$\ell$の方程式は$y=-[シ]ax+[ス]a^2+[セ]$であり,
$\displaystyle S(a)=\frac{[ソタ]}{[チ]} \left( [ツ]a^2+[テ]a+[ト] \right)^{\frac{\mkakko{ナ}}{\mkakko{ニ}}}$となる.
また$S(a)$が最小となるのは$\displaystyle a=\frac{[ヌネ]}{[ノ]}$のときである.
獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2016年 第1問
次の問いに答えなさい.

(1)$m$を実数の定数とする.$x$についての$2$つの$2$次不等式

$x^2-4x+3<0 \qquad\hspace{2.65mm} \cdots\cdots \ ①$
$x^2-2mx-8m^2<0 \cdots\cdots \ ②$

を考える.$①$の解は
\[ [ア]<x<[イ] \]
である.
$①$を満たすすべての実数が$②$を満たすような$m$の値の範囲は
\[ m \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}, \frac{[カ]}{[キ]} \leqq m \]
である.
また,$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在しないような$m$の値の範囲は
\[ \frac{[クケ]}{[コ]} \leqq m \leqq \frac{[サ]}{[シ]} \]
である.
(2)$4$進法で表された$123_{(4)}$を$10$進法で表すと,$[スセ]$である.
整数$n$を$4$進法で表したとき,$3$桁になった.このとき,$n$のとり得る値の範囲を$10$進法で表すと
\[ [ソタ] \leqq n \leqq [チツ] \]
である.
$10$進法で表された$3^{20}$を$4$進法で表すと,その桁数は$[テト]$である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2016年 第4問
次の問いに答えなさい.ただし,$[チ]$には$[$\mathrm{X]$}$~$[$\mathrm{Z]$}$に入る言葉の組合せとして最も適切なものを,下の選択肢$\nagamaruichi$~$\nagamaruroku$のうちから一つ選びなさい.

複素数$\alpha$を$\alpha=-7+4 \sqrt{3}i$とし,実数の数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_n+4 \sqrt{3} b_n i=\alpha^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.ただし,$i$は虚数単位である.$a_n$と$b_n$を$\alpha$とその共役な複素数$\overline{\alpha}$で表すと
\[ a_n=\frac{\alpha^n+(\overline{\alpha})^n}{[ア]},\quad b_n=\frac{\alpha^n-(\overline{\alpha})^n}{[イ] \sqrt{[ウ]}i} \]
となるので,数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は漸化式

$a_{n+2}+[エオ]a_{n+1}+[カキ]a_n=0 \quad \cdots\cdots \ ①$
$b_{n+2}+[エオ]b_{n+1}+[カキ]b_n=0 \quad\;\;\!\! \cdots\cdots \ ②$

を満たす.これらを用いて,すべての自然数$n$に対して

$a_n$と$b_n$が互いに素な整数である $\quad \cdots\cdots \ (*)$

ことを,数学的帰納法により証明する.

(i) $n=1,\ 2$のとき
\[ a_1=[クケ],\quad b_1=[コ],\quad a_2=[サ],\quad b_2=[シスセ] \]
であるから,$(*)$が成り立つ.
(ii) $n=k,\ k+1$のとき$(*)$が成り立つと仮定する.
まず$①,\ ②$より,$a_{k+2},\ b_{k+2}$は$[$\mathrm{X]$}$である.ここで
\[ {a_n}^2+48{b_n}^2=[ソタ]^n \quad \cdots\cdots \ ③ \]
がすべての自然数$n$で成り立つ.$[ソタ]$が$[$\mathrm{Y]$}$であるから,$a_{k+2},\ b_{k+2}$が$[$\mathrm{Z]$}$と仮定すると$③$より,これら$2$数は$[ソタ]$の倍数でなければならない.ところが,このとき$①,\ ②$より$a_{k+1},\ b_{k+1}$は$[ソタ]$の倍数となり,数学的帰納法の仮定と矛盾する.よって,$n=k+2$のときも$(*)$が成り立つ.

$(ⅰ),\ (ⅱ)$より,すべての自然数$n$について$(*)$が成り立つ.

$[チ]$の選択肢
\[ \begin{array}{ccccccccc}
& \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} & & & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} \\
\nagamaruichi & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruni & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarusan & \text{素数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamarushi & \text{整数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarugo & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruroku & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素である}
\end{array} \]
千葉工業大学 私立 千葉工業大学 2016年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)$\displaystyle \frac{3-i}{3+i}=\frac{[ア]-[イ]i}{[ウ]}$(ただし,$i^2=-1$)である.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2(k-4)x+2k=0$が重解をもつような定数$k$の値は小さい順に$[エ]$,$[オ]$である.
(3)$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2-6x+35$のグラフは,放物線$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2$を$x$軸方向に$[カ]$,$y$軸方向に$[キ]$だけ平行移動した放物線である.
(4)$10$個の値$1,\ 3,\ 8,\ 5,\ 8,\ [ク],\ 3,\ 7,\ 7,\ 1$からなるデータの平均値は$5$,最頻値は$[ケ]$,中央値は$[コ]$である.
(5)$x>0$において,$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right) \left( 2-\frac{9}{x} \right)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}$のとき,最小値$[スセ]$をとる.
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個の数字を使ってできる$3$桁の整数は$[ソタ]$個あり,そのうち偶数のものは$[チツ]$個ある.
(7)$0 \leqq \theta<2\pi$とする.$\displaystyle \cos 3\theta=\frac{1}{2}$をみたす$\theta$のうち,最大のものは$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]} \pi$である.
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^3-3x+2) \, dx=\frac{[ニヌ]}{[ネ]}$である.
玉川大学 私立 玉川大学 2016年 第1問
次の$[ ]$を埋めよ.

(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$.

(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で,$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である.

(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である.このとき,$A$,$B$,$C$は,
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である.
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は,$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である.
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき,
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である.
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は,$x=[ハ]$のとき,最大値$[ヒフ]$をとり,$x=[ヘ]$のとき,最小値$[ホ]$をとる.
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき,


$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$


が成り立つ.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$,$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき,$x^2+y^2-xy=[アイ]$である.

(2)$\displaystyle 1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}}=\frac{[ウ]x+[エ]}{[オ]x+[カ]}$である.
(3)$k$を定数とする.$2$次方程式$x^2+(3k+1)x+2k^2+2k-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし,$\beta-\alpha=2$とする.このとき,$k=[キ]$であり,$\alpha=[クケ]$,$\beta=[コサ]$である.
(4)不等式$|2x^2+x-2|>1$の解は$\displaystyle x<\frac{[シス]}{[セ]}$,$\displaystyle [ソタ]<x<\frac{[チ]}{[ツ]}$,$[テ]<x$である.
(5)等式$720x=y^3$を満たす正の整数$x,\ y$の組のうち,$x$が最小であるものは$x=[アイウ]$,$y=[エオ]$である.
(6)点$(1,\ 2)$に関して点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$([カ],\ [キ])$である.また,直線$2x-y-1=0$に関して,点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[クケ]}{[コ]},\ \frac{[サ]}{[シ]} \right)$である.
(7)$a,\ b$を定数とし,$a>0$とする.関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$5$,最小値が$-2$であるとき,$\displaystyle a=\frac{[ス]}{[セ]}$,$\displaystyle b=\frac{[ソタ]}{[チ]}$である.
(8)$2$個のさいころを同時に投げるとき,出る目の差の絶対値が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2016年 第4問
$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極大値$1$をとり,$x=1$で極小値$0$をとる.

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$f^\prime(x)=ax(x-[ア])$($a$は定数)と表せる.

(2)$(1)$より$\displaystyle f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}ax^3-\frac{[エ]}{[オ]}ax^2+b$($b$は定数)と表せる.

(3)$(2)$と$f(x)$の極大値と極小値に関する条件から,$a=[カ]$,$b=[キ]$となる.よって,$f(x)=[ク]x^3-[ケ]x^2+[コ]$である.

(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[ス]}$,$[セ]$である.

(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である.
近畿大学 私立 近畿大学 2016年 第3問
$i$を虚数単位とする.異なる$3$つの複素数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の間に等式$\gamma-i \beta=(1-i) \alpha$が成り立つものとする.さらに,$\alpha$は方程式$|\alpha-2|=|\alpha-2 \sqrt{3|i}$を満たすとする.複素数平面において$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$,$\mathrm{B}(\beta)$,$\mathrm{C}(\gamma)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$を考える.

(1)$\angle \mathrm{BAC}={[アイ]}^\circ$,$\angle \mathrm{ABC}={[ウエ]}^\circ$,$\angle \mathrm{ACB}={[オカ]}^\circ$である.

(2)点$\mathrm{A}$が虚軸上にあるとき,$\displaystyle \alpha=\frac{[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]}i$である.さらに点$\mathrm{B}$が実軸上にあるとすると,点$\mathrm{C}$は方程式
\[ |\gamma|=|\gamma-\delta| \quad \text{(ただし$\delta$は$0$と異なる定数)} \]
を満たす.このとき$\displaystyle \delta=\frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$である.

(3)点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$がそれぞれ,実軸上,虚軸上にあるとき
\[ \alpha=[ス]-\sqrt{[セ]}+\left( [ソタ]+\sqrt{[チ]} \right) i \]
である.さらに,$\gamma$が方程式$|\gamma-2|=|\gamma-2 \sqrt{3|i}$を満たすとき
\[ \beta=\frac{[ツ]-[テ] \sqrt{[ト]}}{[ナ]} \]
である.
東邦大学 私立 東邦大学 2015年 第10問
次のデータは,ある高校$3$年生$9$人の$100$点満点の試験の結果である.
\[ 65,\ 83,\ 64,\ 69,\ 89,\ 68,\ 77,\ 70,\ 81 \]
データを順に,$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots,\ x_9$と表す.このとき,$\displaystyle \sum_{i=1}^9 (x_i-\theta)^2$を最小にする$\theta$の値は$[スセ]$である.また,$\displaystyle \sum_{i=1}^9 |x_i-\theta|$を最小にする$\theta$の値は$[ソタ]$である.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2015年 第3問
$k$は実数の定数とする.$0 \leqq x<2\pi$のとき,$x$の方程式
\[ \cos x-\sin^2 x+1-\frac{k}{4}=0 \]
について,以下の問に答えよ.

(1)方程式が解をもつのは,$k$が$[ソタ] \leqq k \leqq [チ]$のときである.

(2)$k=3$のとき,方程式の解は小さい順に,$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]} \pi,\ \frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である.

(3)$-1<k<0$のとき,方程式の解の個数は$[ニ]$個である.
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