袋の中に，$1,\ 2,\ \cdots,\ m$（$m$は$2$以上の整数）の数字が書かれた球がそれぞれ$n$個ずつ（$n$は正の整数），合計$mn$個入っている．この袋の中から同時に$2$個の球を取り出す．取り出した球に書かれている数字が$k,\ l (k \geqq l)$のとき，$x=k$，$y=l$とする．

(1)$m=6,\ n=3$のとき，$x-y=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)$2(x-y) \geqq m$となる確率を$p$とする．


$m=18$，$n=3$のとき，$\displaystyle p=\frac{[エオ]}{[カキ]}$である．

$m$が偶数，$n=3$のとき，$\displaystyle p=\frac{[ク]m+[ケ]}{[コサ]m-[シ]}$である．


(3)$2(x-y)<m$となる確率は，$m$が偶数のとき
\[ \frac{[ス]mn-[セ]n-[ソ]}{[タ](mn-[チ])} \]
である．

次の各設問に答えよ．

(1)正の実数$a,\ b$が$\sqrt{a^3}-2 \sqrt{b^3}=(ab)^{\frac{3}{4}}$を満たすとき，$a=\sqrt[\mkakko{ア}]{[イウ]}b$である．
(2)方程式$x^2-\sqrt{6}x+1=\sqrt{2}$の解が$\tan \alpha$，$\displaystyle \tan (-\beta) \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき$\displaystyle \alpha-\beta=\frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(3)$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^x-\left( \frac{1}{4} \right)^{x-1}-\left( \frac{1}{2} \right)^{x-2}+16<0$の解は$[カキ]<x<[クケ]$である．
(4)箱の中に赤玉$5$個，白玉$4$個，黒玉$3$個が入っている．この箱の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シス]}$である．

食塩水が$100 \, \mathrm{g}$ある．これから$20 \, \mathrm{g}$を取って捨てた後に濃度が$10 \, \%$の食塩水を$20 \, \mathrm{g}$加える．食塩水の初めの濃度を$20 \, \%$として，この操作を$n$回（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）繰り返した後の食塩水に含まれる食塩の量を$x_n \, \mathrm{g}$とする．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

(1)$x_1$は$[アイ]$である．

(2)$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ウ]}{[エ]}x_n+[オ]$が成り立つ．この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=[カキ],\quad q=\frac{[ク]}{[ケ]} \]
となる．これより
\[ x_n=[コサ]+[シス] \left( \frac{[セ]}{[ソ]} \right)^n \]
が得られる．
(3)食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには，この操作を少なくとも$[タチ]$回繰り返す必要がある．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき，$x^2+y^2-xy=[アイ]$である．

(2)$\displaystyle 1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}}=\frac{[ウ]x+[エ]}{[オ]x+[カ]}$である．
(3)$k$を定数とする．$2$次方程式$x^2+(3k+1)x+2k^2+2k-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$\beta-\alpha=2$とする．このとき，$k=[キ]$であり，$\alpha=[クケ]$，$\beta=[コサ]$である．
(4)不等式$|2x^2+x-2|>1$の解は$\displaystyle x<\frac{[シス]}{[セ]}$，$\displaystyle [ソタ]<x<\frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]<x$である．
(5)等式$720x=y^3$を満たす正の整数$x,\ y$の組のうち，$x$が最小であるものは$x=[アイウ]$，$y=[エオ]$である．
(6)点$(1,\ 2)$に関して点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$([カ],\ [キ])$である．また，直線$2x-y-1=0$に関して，点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[クケ]}{[コ]},\ \frac{[サ]}{[シ]} \right)$である．
(7)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$5$，最小値が$-2$であるとき，$\displaystyle a=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(8)$2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の差の絶対値が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である．

$2$次関数
\[ y=-x^2+2x+2 \cdots\cdots① \]
のグラフの頂点の座標は$([ア],\ [イ])$である．また
\[ y=f(x) \]
は$x$の$2$次関数で，そのグラフは，$①$のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする．

(1)下の$[ウ],\ [オ]$には，次の$\nagamarurei$～$\nagamarushi$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\[ \nagamarurei > \qquad \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni \geqq \qquad \nagamarusan \leqq \qquad \nagamarushi \neq \]
$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [ウ] [エ] \]
であり，最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [オ] [カ] \]
である．

(2)$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは
\[ p=\frac{[キク]}{[ケ]},\quad q=\frac{[コサ]}{[シ]} \]
のときである．

$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く．

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．

命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．

$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．

このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．

同じ大きさの$5$枚の正方形の板を一列に並べて，図のような掲示板を作り，壁に固定する．赤色，緑色，青色のペンキを用いて，隣り合う正方形どうしが異なる色となるように，この掲示板を塗り分ける．ただし，塗り分ける際には，$3$色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく，$2$色のペンキだけで塗り分けることがあってもよいものとする．
（図は省略）

(1)このような塗り方は，全部で$[アイ]$通りある．
(2)塗り方が左右対称となるのは，$[ウエ]$通りある．
(3)青色と緑色の$2$色だけで塗り分けるのは，$[オ]$通りある．
(4)赤色に塗られる正方形が$3$枚であるのは，$[カ]$通りある．
(5)赤色に塗られる正方形が$1$枚である場合について考える．
\begin{itemize}
どちらかの端の$1$枚が赤色に塗られるのは，$[キ]$通りある．
端以外の$1$枚が赤色に塗られるのは，$[クケ]$通りある．
\end{itemize}
よって，赤色に塗られる正方形が$1$枚であるのは，$[コサ]$通りある．
(6)赤色に塗られる正方形が$2$枚であるのは，$[シス]$通りある．

$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{3} \left( 0<\theta<\frac{3}{4} \pi \right)$であるとする．

(1)$\sin \theta \cos \theta$の値は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．

(2)$\displaystyle \sin^3 \theta-\cos^3 \theta=\frac{[ウエ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コサ]}$である．

(3)$\displaystyle \tan \theta=\frac{[シ]+\sqrt{[スセ]}}{[ソ]}$である．

$x^2-12x+y^2-24y+160=0$で表される円を$C$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$は$([ア],\ [イウ])$で半径は$[エ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と中心$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$を考える．直線$\ell$と円$C$の交点を原点に近い方から$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[カ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[キ]$である（$[カ]<[キ]$）．
(3)直線$\ell$に平行で$y$切片が$k$の直線を$\ell(k)$とおく．ただし$0<k$とする．直線$\ell(k)$と円$C$が異なる$2$交点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をもつような$k$の値の範囲は$0<k<[クケ]$である．この$2$交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とおくと$\displaystyle \alpha+\beta=[コサ]-\frac{[シ]}{[ス]}k$である．
(4)このとき$\displaystyle \mathrm{ST}^2=[セソ]-\frac{[タ]}{[チ]}k^2$である．$\mathrm{ST}$の中点を$\mathrm{U}$とおくと$\displaystyle \mathrm{PU}^2=\frac{[ツ]}{[テ]}k^2$なので三角形$\mathrm{PST}$の面積は$k=[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき最大値$[ニヌ]$をとる．

一般項が$\displaystyle a_n=\sin \frac{3n \pi}{7}$で定義される数列$\{a_n\}$の最初の$n$項の和を$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．次の各問に答えよ．

(1)$a_n>0$となるための必要十分条件は，$n$を$[アイ]$で割った余りが$1$，$2$，$[ウ]$，$[エ]$，$[オカ]$，$[キク]$のいずれかとなることである．ただし，$[ウ]<[エ]<[オカ]<[キク]$とする．
(2)任意の自然数$n$に対し，$a_{n+\mkakko{ケ}}=-a_n$が成り立つ．
(3)$a_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[コサ]$で割った余りが$[シ]$または$[ス]$となることである．ただし，$[シ]<[ス]$とする．
(4)$S_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[セソ]$で割った余りが$[タ]$または$[チツ]$となることである．