「ケコ」について
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私立 北海道薬科大学 2016年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\left( \log_4 \frac{x^2}{4} \right)^4-\log_2 \frac{x^4}{32} (1 \leqq x \leqq 16)$について，次の設問に答えよ．
(1)$\log_2 x$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$である．
(2)$f(x)$は
\[ f(x)=\left( \log_2 x+[ウエ] \right)^{\mkakko{オ}}+[カキ] \log_2 x+[ク] \]
と表すことができる．
(3)$f(x)$は
$x=[ケコ]$のとき，最大値$[サシ]$
$x=[ス]$のとき，最小値$[セソ]$
をとる．
(1)$\log_2 x$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$である．
(2)$f(x)$は
\[ f(x)=\left( \log_2 x+[ウエ] \right)^{\mkakko{オ}}+[カキ] \log_2 x+[ク] \]
と表すことができる．
(3)$f(x)$は
$x=[ケコ]$のとき，最大値$[サシ]$
$x=[ス]$のとき，最小値$[セソ]$
をとる．
私立 埼玉工業大学 2016年 第2問$k,\ a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の$4$次式$x^4-4x^3+5x^2+kx-8$を因数分解すると
\[ (x^2+ax+4)(x^2+bx+c) \]
となる．このとき，
(1)$c=[ケコ]$である．
(2)$a<b$ならば，$a=[サシ]$，$b=[スセ]$であり，このとき$k=[ソ]$となる．
$a \geqq b$ならば，$a=[スセ]$，$b=[サシ]$であり，このとき$k=[タチツ]$となる．
(3)$(x^2+ax+4)(x^2+bx+c)=0$を満たす正の実数$x$は，$a<b$のときは，$[テ]$であり，$a \geqq b$のときは，
\[ \frac{[ト]+\sqrt{[ナニ]}}{[ヌ]} \]
である．
\[ (x^2+ax+4)(x^2+bx+c) \]
となる．このとき，
(1)$c=[ケコ]$である．
(2)$a<b$ならば，$a=[サシ]$，$b=[スセ]$であり，このとき$k=[ソ]$となる．
$a \geqq b$ならば，$a=[スセ]$，$b=[サシ]$であり，このとき$k=[タチツ]$となる．
(3)$(x^2+ax+4)(x^2+bx+c)=0$を満たす正の実数$x$は，$a<b$のときは，$[テ]$であり，$a \geqq b$のときは，
\[ \frac{[ト]+\sqrt{[ナニ]}}{[ヌ]} \]
である．
私立 金沢工業大学 2016年 第2問関数$y=7 \sin^2 \theta+3 \cos 2 \theta+6 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を考える．
(1)$\cos \theta=t$とおくと，$t$の値の範囲は$[アイ] \leqq t \leqq [ウ]$である．
(2)$y$は$t$の$2$次関数として，
\[ y=-t^2+[エ]t+[オ] \quad ([アイ] \leqq t \leqq [ウ]) \]
と表される．
(3)$y$は$\theta=[カ]$で最大値$[キ]$をとり，$\theta=[ク]$で最小値$[ケコ]$をとる．
(1)$\cos \theta=t$とおくと，$t$の値の範囲は$[アイ] \leqq t \leqq [ウ]$である．
(2)$y$は$t$の$2$次関数として，
\[ y=-t^2+[エ]t+[オ] \quad ([アイ] \leqq t \leqq [ウ]) \]
と表される．
(3)$y$は$\theta=[カ]$で最大値$[キ]$をとり，$\theta=[ク]$で最小値$[ケコ]$をとる．
私立 東北医科薬科大学 2016年 第1問白玉$4$個と赤玉$2$個がはいっている袋から玉を$1$個取り出す試行を行う．このとき，次の問に答えなさい．
(1)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目にはじめて赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目に$2$個目の赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
(5)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を繰り返す．赤玉が取り出されたら試行は止める．$k$回目に赤玉が出て止める確率は$\displaystyle P_k=\frac{[サ]}{[シ]} \left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\mkakko{ソ}}$である．
また$\displaystyle S_k=(P_1)^2+(P_2)^2+\cdots +(P_k)^2=\frac{[タ]}{[チ]}-\frac{[ツ]}{[テ]} \left( \frac{[ト]}{[ナ]} \right)^{\mkakko{ニ}}$なので$S_k \geqq 0.19998$をみたす最小の$k$は$[ヌネ]$である．
ただし$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(1)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目にはじめて赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)取りだした球は袋に戻さないとして，この試行を$4$回繰り返す．$4$回目に$2$個目の赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を$4$回繰り返す．このとき，赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
(5)取りだした球を袋に戻すとして，この試行を繰り返す．赤玉が取り出されたら試行は止める．$k$回目に赤玉が出て止める確率は$\displaystyle P_k=\frac{[サ]}{[シ]} \left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\mkakko{ソ}}$である．
また$\displaystyle S_k=(P_1)^2+(P_2)^2+\cdots +(P_k)^2=\frac{[タ]}{[チ]}-\frac{[ツ]}{[テ]} \left( \frac{[ト]}{[ナ]} \right)^{\mkakko{ニ}}$なので$S_k \geqq 0.19998$をみたす最小の$k$は$[ヌネ]$である．
ただし$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
私立 千葉工業大学 2016年 第3問次の各問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=9$，$\mathrm{OB}=7$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=57$である．$\mathrm{AB}=[ア]$であり，頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{OP}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
である．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AQ}=\frac{[エ]}{[オ]}$であり，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(2)$xy$平面上に円$K:x^2+y^2-4x-2y+4=0$と直線$\ell:y=ax+a+1$がある．$\ell$は定数$a$の値によらず，点$\mathrm{P}([ケコ],\ [サ])$を通る．
$a=0$のとき，$\ell$と$K$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とすると，$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=[シ]$である．
また，$\ell$が$K$と$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で交わり，$\mathrm{PC}:\mathrm{PD}=2:3$であるとき，
\[ \mathrm{CD}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソ]} \]
であり，$\displaystyle a=\pm \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$である．
(1)三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=9$，$\mathrm{OB}=7$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=57$である．$\mathrm{AB}=[ア]$であり，頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{OP}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
である．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AQ}=\frac{[エ]}{[オ]}$であり，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(2)$xy$平面上に円$K:x^2+y^2-4x-2y+4=0$と直線$\ell:y=ax+a+1$がある．$\ell$は定数$a$の値によらず，点$\mathrm{P}([ケコ],\ [サ])$を通る．
$a=0$のとき，$\ell$と$K$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とすると，$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=[シ]$である．
また，$\ell$が$K$と$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で交わり，$\mathrm{PC}:\mathrm{PD}=2:3$であるとき，
\[ \mathrm{CD}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソ]} \]
であり，$\displaystyle a=\pm \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$である．
私立 玉川大学 2016年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$．
(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で，$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である．
(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である．このとき，$A$，$B$，$C$は，
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である．
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は，$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である．
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき，
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である．
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は，$x=[ハ]$のとき，最大値$[ヒフ]$をとり，$x=[ヘ]$のとき，最小値$[ホ]$をとる．
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき，
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$
が成り立つ．
(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$．
(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で，$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である．
(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である．このとき，$A$，$B$，$C$は，
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である．
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は，$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である．
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき，
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である．
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は，$x=[ハ]$のとき，最大値$[ヒフ]$をとり，$x=[ヘ]$のとき，最小値$[ホ]$をとる．
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき，
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$
が成り立つ．
私立 近畿大学 2016年 第2問等式
\[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \]
を満たす関数$y=f(x)$を考える．$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{[ア]}{[イ]}c-\frac{[ウ]}{[エオ]} \right)$であり，
$f(0)=1$のとき，$\displaystyle c=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(2)$c<0$とし，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする．このとき，$c$のとりうる最小の値は
\[ \frac{[ケコ]}{[サ]} \]
であり，$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて
\[ \frac{[シ]}{[ス]} c^{\mkakko{セ}}+\frac{[ソ]}{[タ]}c-\frac{[チ]}{[ツテ]} \]
と表すことができる．
(3)座標平面において，関数$y=f(x)$のグラフと直線
\[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \]
が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき，$c=[ト]$である．このとき，$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$[ナニ]$である．
\[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \]
を満たす関数$y=f(x)$を考える．$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{[ア]}{[イ]}c-\frac{[ウ]}{[エオ]} \right)$であり，
$f(0)=1$のとき，$\displaystyle c=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(2)$c<0$とし，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする．このとき，$c$のとりうる最小の値は
\[ \frac{[ケコ]}{[サ]} \]
であり，$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて
\[ \frac{[シ]}{[ス]} c^{\mkakko{セ}}+\frac{[ソ]}{[タ]}c-\frac{[チ]}{[ツテ]} \]
と表すことができる．
(3)座標平面において，関数$y=f(x)$のグラフと直線
\[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \]
が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき，$c=[ト]$である．このとき，$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$[ナニ]$である．
私立 近畿大学 2016年 第2問等式
\[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \]
を満たす関数$y=f(x)$を考える．$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{[ア]}{[イ]}c-\frac{[ウ]}{[エオ]} \right)$であり，
$f(0)=1$のとき，$\displaystyle c=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(2)$c<0$とし，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする．このとき，$c$のとりうる最小の値は
\[ \frac{[ケコ]}{[サ]} \]
であり，$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて
\[ \frac{[シ]}{[ス]} c^{\mkakko{セ}}+\frac{[ソ]}{[タ]}c-\frac{[チ]}{[ツテ]} \]
と表すことができる．
(3)座標平面において，関数$y=f(x)$のグラフと直線
\[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \]
が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき，$c=[ト]$である．このとき，$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$[ナニ]$である．
\[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \]
を満たす関数$y=f(x)$を考える．$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{[ア]}{[イ]}c-\frac{[ウ]}{[エオ]} \right)$であり，
$f(0)=1$のとき，$\displaystyle c=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(2)$c<0$とし，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする．このとき，$c$のとりうる最小の値は
\[ \frac{[ケコ]}{[サ]} \]
であり，$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて
\[ \frac{[シ]}{[ス]} c^{\mkakko{セ}}+\frac{[ソ]}{[タ]}c-\frac{[チ]}{[ツテ]} \]
と表すことができる．
(3)座標平面において，関数$y=f(x)$のグラフと直線
\[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \]
が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき，$c=[ト]$である．このとき，$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$[ナニ]$である．
私立 東京医科大学 2015年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(4,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(3,\ 0)$，$\overrightarrow{d}=(1,\ 2)$に対して，等式
\[ |\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}+t \overrightarrow{d}| \]
をみたす実数$t$の値は$2$つあり，それらを$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とすれば，
\[ t_1=[アイ],\quad t_2=\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-9)^2+28 \]
を考える．$C_1,\ C_2$の両方に接する直線は$2$つあり，それらの方程式を傾きの小さい方から順に並べれば，
\[ y=[オ]x-[カ],\quad y=[キク]x-[ケコ] \]
である．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(4,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(3,\ 0)$，$\overrightarrow{d}=(1,\ 2)$に対して，等式
\[ |\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}+t \overrightarrow{d}| \]
をみたす実数$t$の値は$2$つあり，それらを$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とすれば，
\[ t_1=[アイ],\quad t_2=\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-9)^2+28 \]
を考える．$C_1,\ C_2$の両方に接する直線は$2$つあり，それらの方程式を傾きの小さい方から順に並べれば，
\[ y=[オ]x-[カ],\quad y=[キク]x-[ケコ] \]
である．
私立 東邦大学 2015年 第4問$n$を自然数とする．関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{a+x^2+x^{2n}-x^{2n+2}}{12+x^{2n}}$と定めるとき，$f(x)$が実数全体で連続となるような定数$a$の値は$[ケコ]$である．