「グラフ」について
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私立 早稲田大学 2016年 第4問正の定数$a$に対して，$f(x)=ax^3-(2a-1)x^2-(5a+1)x+6(a-1)$とする．関数$y=f(x)$のグラフは$x$軸とちょうど$2$つの共有点をもつ．これらの共有点のうち，$x$座標の値が大きい方の点の座標は$([ス],\ 0)$であり，$\displaystyle a=\frac{[セ]}{[ソ]}$である．また，$f(x)$が極小値をとるのは，$\displaystyle x=\frac{[タ]}{[チ]}$のときである．
私立 青山学院大学 2016年 第5問関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフにおいて，$y$座標の値が最大となる点を$\mathrm{A}$，変曲点を$\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{B}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求め，関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および関数$y=xe^{-x}$のグラフの点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$までの部分で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
(3)$S_1$と三角形$\mathrm{OBC}$の面積$S_2$の大小を比較せよ．
(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求め，関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および関数$y=xe^{-x}$のグラフの点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$までの部分で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
(3)$S_1$と三角形$\mathrm{OBC}$の面積$S_2$の大小を比較せよ．
私立 名城大学 2016年 第2問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}-2 |x-1|+2$について，次の各問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$-4 \leqq x \leqq 2$のときの$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた$3$つの部分の面積の和を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$-4 \leqq x \leqq 2$のときの$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた$3$つの部分の面積の和を求めよ．
私立 大阪薬科大学 2016年 第2問次の問いに答えなさい．
$2$つの関数$f(x)=x^2+3$と$g(x)=4x^2-8 |x|$を考える．$xy$座標平面において，$y=f(x)$のグラフを$C_1$とし，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とする．また，$C_1$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．
(1)$\ell$の$y$切片を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$1$象限にある点の座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)$xy$座標平面上の関数$y=4x^2-8 |x|+ax+1$のグラフと$x$軸との共有点が$4$個になるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
$2$つの関数$f(x)=x^2+3$と$g(x)=4x^2-8 |x|$を考える．$xy$座標平面において，$y=f(x)$のグラフを$C_1$とし，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とする．また，$C_1$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．
(1)$\ell$の$y$切片を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$1$象限にある点の座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)$xy$座標平面上の関数$y=4x^2-8 |x|+ax+1$のグラフと$x$軸との共有点が$4$個になるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
私立 神戸薬科大学 2016年 第2問$2$次関数$y=4x^2-16x-9$において，最小値は$x=[キ]$のとき，$y=[ク]$である．また，$y \leqq 0$となる$x$の範囲を求めると$[ケ]$である．
この$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$\displaystyle \frac{3}{2}$，$y$軸方向に$a$だけ平行移動すると点$(1,\ 7)$を通った．このとき，$a=[コ]$である．
この$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$\displaystyle \frac{3}{2}$，$y$軸方向に$a$だけ平行移動すると点$(1,\ 7)$を通った．このとき，$a=[コ]$である．
私立 金沢工業大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について，
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である．
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である．
(3)$a,\ b$を整数とする．$a$を$13$で割ると$10$余り，$b$を$13$で割ると$7$余るとき，$a+b$，$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$，$[ケ]$である．また，$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である．
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり，そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある．
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき，
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ，$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは，関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である．このとき，もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である．
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$，$y \geqq 0$を満たすとき，$6x+3y$は$x=[ケ]$，$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり，$x=[スセ]$，$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる．
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき，$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である．
(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について，
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である．
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である．
(3)$a,\ b$を整数とする．$a$を$13$で割ると$10$余り，$b$を$13$で割ると$7$余るとき，$a+b$，$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$，$[ケ]$である．また，$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である．
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり，そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある．
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき，
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ，$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは，関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である．このとき，もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である．
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$，$y \geqq 0$を満たすとき，$6x+3y$は$x=[ケ]$，$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり，$x=[スセ]$，$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる．
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき，$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である．
私立 大阪工業大学 2016年 第4問関数$f(x)=x+\sqrt{4-x^2} (-2 \leqq x \leqq 2)$について，次の問いに答えよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(-\sqrt{2})$の値を求めよ．また，$f^\prime(x)=0$を解け．
(3)$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．ただし，凹凸は調べなくてもよい．
(4)$4-x^2=t$とおき，置換積分法を用いて不定積分$\displaystyle \int x \sqrt{4-x^2} \, dx$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(-\sqrt{2})$の値を求めよ．また，$f^\prime(x)=0$を解け．
(3)$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．ただし，凹凸は調べなくてもよい．
(4)$4-x^2=t$とおき，置換積分法を用いて不定積分$\displaystyle \int x \sqrt{4-x^2} \, dx$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
私立 千葉工業大学 2016年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{3-i}{3+i}=\frac{[ア]-[イ]i}{[ウ]}$（ただし，$i^2=-1$）である．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2(k-4)x+2k=0$が重解をもつような定数$k$の値は小さい順に$[エ]$，$[オ]$である．
(3)$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2-6x+35$のグラフは，放物線$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2$を$x$軸方向に$[カ]$，$y$軸方向に$[キ]$だけ平行移動した放物線である．
(4)$10$個の値$1,\ 3,\ 8,\ 5,\ 8,\ [ク],\ 3,\ 7,\ 7,\ 1$からなるデータの平均値は$5$，最頻値は$[ケ]$，中央値は$[コ]$である．
(5)$x>0$において，$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right) \left( 2-\frac{9}{x} \right)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}$のとき，最小値$[スセ]$をとる．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個の数字を使ってできる$3$桁の整数は$[ソタ]$個あり，そのうち偶数のものは$[チツ]$個ある．
(7)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$\displaystyle \cos 3\theta=\frac{1}{2}$をみたす$\theta$のうち，最大のものは$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]} \pi$である．
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^3-3x+2) \, dx=\frac{[ニヌ]}{[ネ]}$である．
(1)$\displaystyle \frac{3-i}{3+i}=\frac{[ア]-[イ]i}{[ウ]}$（ただし，$i^2=-1$）である．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2(k-4)x+2k=0$が重解をもつような定数$k$の値は小さい順に$[エ]$，$[オ]$である．
(3)$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2-6x+35$のグラフは，放物線$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2$を$x$軸方向に$[カ]$，$y$軸方向に$[キ]$だけ平行移動した放物線である．
(4)$10$個の値$1,\ 3,\ 8,\ 5,\ 8,\ [ク],\ 3,\ 7,\ 7,\ 1$からなるデータの平均値は$5$，最頻値は$[ケ]$，中央値は$[コ]$である．
(5)$x>0$において，$\displaystyle \left( x-\frac{1}{2} \right) \left( 2-\frac{9}{x} \right)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}$のとき，最小値$[スセ]$をとる．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$から異なる$3$個の数字を使ってできる$3$桁の整数は$[ソタ]$個あり，そのうち偶数のものは$[チツ]$個ある．
(7)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．$\displaystyle \cos 3\theta=\frac{1}{2}$をみたす$\theta$のうち，最大のものは$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]} \pi$である．
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^3-3x+2) \, dx=\frac{[ニヌ]}{[ネ]}$である．
私立 東京薬科大学 2016年 第2問次の問に答えよ．
(1)関数$y=\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$のグラフ$C_1$は，$y=\log_2 (x+1)$のグラフ$C_2$を原点について対称移動し，$x$軸方向に$[ソ]$だけ平行移動したものであり，$C_1$と$C_2$の交点の座標は
\[ \left( [タ] \pm \sqrt{[チ]},\ \log_2 \left( [ツ] \pm \sqrt{[テ]} \right) \right) \quad \text{（複号同順）} \]
である．また，関数$y=\log_2 (x+1)-\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$は$x=[ト]$のとき，最大値$[ナ]$をとる．
(2)赤球$3$個，青球$2$個，白球$1$個の計$6$個の球を横一列に並べるとき，並べ方は全部で$[ニヌ]$通りある．
(1)関数$y=\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$のグラフ$C_1$は，$y=\log_2 (x+1)$のグラフ$C_2$を原点について対称移動し，$x$軸方向に$[ソ]$だけ平行移動したものであり，$C_1$と$C_2$の交点の座標は
\[ \left( [タ] \pm \sqrt{[チ]},\ \log_2 \left( [ツ] \pm \sqrt{[テ]} \right) \right) \quad \text{（複号同順）} \]
である．また，関数$y=\log_2 (x+1)-\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$は$x=[ト]$のとき，最大値$[ナ]$をとる．
(2)赤球$3$個，青球$2$個，白球$1$個の計$6$個の球を横一列に並べるとき，並べ方は全部で$[ニヌ]$通りある．
私立 東京薬科大学 2016年 第5問$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
ax & (x \leqq 1) \\
(4-a)x+2(a-2) & (1<x) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定義する．ただし，$a$は$0<a<1$を満たす実数である．
(1)$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$の共有点の個数は$[ロ]$である．このうち，$a$の値によらない共有点の座標は，$([ワ],\ [ヲ])$，$([ン],\ [あ])$である．ただし，$[ワ]<[ン]$とする．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積の総和を$S(a)$とすると，
\[ S(a)=\frac{[い]}{[う]}a^3-a+\frac{[え]}{[お]} \]
である．
(3)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{\sqrt{[か]}}{[き]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[く]-\sqrt{[け]}}{[こ]}$をとる．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
ax & (x \leqq 1) \\
(4-a)x+2(a-2) & (1<x) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定義する．ただし，$a$は$0<a<1$を満たす実数である．
(1)$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$の共有点の個数は$[ロ]$である．このうち，$a$の値によらない共有点の座標は，$([ワ],\ [ヲ])$，$([ン],\ [あ])$である．ただし，$[ワ]<[ン]$とする．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと，放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積の総和を$S(a)$とすると，
\[ S(a)=\frac{[い]}{[う]}a^3-a+\frac{[え]}{[お]} \]
である．
(3)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{\sqrt{[か]}}{[き]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[く]-\sqrt{[け]}}{[こ]}$をとる．