$a$を正の定数とし，$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく．以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$a=2$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<a \leqq \frac{3}{2}$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ．また，その条件をみたす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ．

$a$を正の定数とし，$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく．以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$y=f(x)$のグラフが点$(-1,\ 2)$を通るときの$a$の値を求めよ．また，そのときの$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)$a=2$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle y=xe^{-\frac{1}{2}x^2} (-2 \leqq x \leqq 2)$の増減および極値を調べ，このグラフの概形をかけ．

(2)$\displaystyle \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx$を求めよ．

$\log x$は$x$の自然対数とする．

(1)$2$と$\log 4$の大小関係を，理由をつけて述べよ．必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい．さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)$x>1$のとき，$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，このグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$，および$x=e^2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，$\log$は自然対数を表す．また，等式$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．

(2)$a$を正の実数とする．このとき，$a^x=x^a$を満たす正の実数$x$の個数を調べよ．

(3)定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log x}{x} \, dx$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

次の各問に答えよ．

(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する．
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

関数$f(x)=2 \sqrt{x} e^{-x} (x \geqq 0)$について次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい．
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

実数$a$は$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$であるとする．関数$f(x)=\sqrt{x}-a \log x$について次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ．

二つの実数$\alpha,\ \beta$について，
\[ m(\alpha,\ \beta)=\left\{ \begin{array}{lcl}
\beta & & (\alpha \geqq \beta \text{のとき}) \\
\alpha & & (\alpha<\beta \text{のとき})
\end{array} \right. \]
と定め，また
\[ M(\alpha,\ \beta)=\alpha+\beta-m(\alpha,\ \beta) \]
とする．

$a,\ b$を実数として関数$f(x),\ g(x)$を次で定めるとき，以下の問いに答えなさい．
\[ f(x)=-(x-a)^2+b,\quad g(x)=M(0,\ x^2-1) \]


(1)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかきなさい．
(2)全ての実数$x$について
\[ m(f(x),\ g(x))=f(x) \]
が成り立つような$(a,\ b)$の範囲を図示しなさい．

$a \geqq 0$を満たす実数$a$に対して，関数
\[ f(t)=t^3-6t^2+9t \]
の$-1 \leqq t \leqq a$における最大値を$g(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$g(2)$と$g(5)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 5$の範囲で$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$y=g(x)$のグラフと$x$軸および直線$x=5$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．