山形大学
2013年 理学部（数理） 第3問
3
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$n$を$2$以上の自然数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) $\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ．
(2) 関数$y=\log x$の定積分を利用して，次の不等式を証明せよ． \[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3) 極限値 \[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \] を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ．
(2) 関数$y=\log x$の定積分を利用して，次の不等式を証明せよ． \[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3) 極限値 \[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \] を求めよ．
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