山形大学
2015年 理学部（物理） 第2問
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$\displaystyle y=\cos \frac{\pi x}{2} \ \ (0 \leqq x \leqq 1)$で与えられる曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形$S$について，以下の問いに答えよ．
(1) 図形$S$の面積を求めよ．
(2) 図形$S$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．
(3) 部分積分法を用いて次の不定積分を求めよ． \[ \int x^2 \sin x \, dx \]
(4) 図形$S$を$y$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．その際，曲線$C$は変数$t$を媒介変数として \[ x=\frac{2}{\pi}t,\quad y=\cos t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \] と表せることを利用せよ．
(1) 図形$S$の面積を求めよ．
(2) 図形$S$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．
(3) 部分積分法を用いて次の不定積分を求めよ． \[ \int x^2 \sin x \, dx \]
(4) 図形$S$を$y$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．その際，曲線$C$は変数$t$を媒介変数として \[ x=\frac{2}{\pi}t,\quad y=\cos t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \] と表せることを利用せよ．
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