東京海洋大学
2016年 海洋工 第1問
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下で定める．
$a_1=2,\quad b_1=1$
$\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=2a_n+3b_n \\ b_{n+1}=a_n+2b_n \end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，
$a_n+\sqrt{3}b_n={(2+\sqrt{3})}^n$
$a_n-\sqrt{3}b_n={(2-\sqrt{3})}^n$
が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle \frac{b_n}{a_n}$を$n$を用いて表せ．
(3) 数列$\{e_n\}$を \[ e_n=\frac{\sqrt{3} \, b_n}{a_n}-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定めるとき，$n \geqq 3$ならば \[ |e_n|<0.001 \] であることを示せ．ただし，$\displaystyle 0.071<\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}<0.072$を用いてもよい．
$a_1=2,\quad b_1=1$
$\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=2a_n+3b_n \\ b_{n+1}=a_n+2b_n \end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，
$a_n+\sqrt{3}b_n={(2+\sqrt{3})}^n$
$a_n-\sqrt{3}b_n={(2-\sqrt{3})}^n$
が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle \frac{b_n}{a_n}$を$n$を用いて表せ．
(3) 数列$\{e_n\}$を \[ e_n=\frac{\sqrt{3} \, b_n}{a_n}-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定めるとき，$n \geqq 3$ならば \[ |e_n|<0.001 \] であることを示せ．ただし，$\displaystyle 0.071<\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}<0.072$を用いてもよい．
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