$a$を正の実数とし，$p$を正の有理数とする．座標平面上の$2$つの曲線$y=ax^p \ \ (x>0)$と$y=\log x \ \ (x>0)$を考える．この$2$つの曲線の共有点が$1$点のみであるとし，その共有点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．必要であれば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^p}{\log x}=\infty$を証明なしに用いてよい．
(1) $a$および点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$p$を用いて表せ．
(2) この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$p$を用いて表せ．
(3) $(2)$で得られる立体の体積が$2 \pi$になるときの$p$の値を求めよ．