東京大学
2015年 理系 第4問
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数列$\{p_n\}$を次のように定める．
\[ p_1=1,\quad p_2=2,\quad p_{n+2}=\frac{p_{n+1}^2+1}{p_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1) $\displaystyle \frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}$が$n$によらないことを示せ．
(2) すべての$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し，$p_{n+1}+p_{n-1}$を$p_n$のみを使って表せ．
(3) 数列$\{q_n\}$を次のように定める． \[ q_1=1,\quad q_2=1,\quad q_{n+2}=q_{n+1}+q_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$p_n=q_{2n-1}$を示せ．
(1) $\displaystyle \frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}$が$n$によらないことを示せ．
(2) すべての$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し，$p_{n+1}+p_{n-1}$を$p_n$のみを使って表せ．
(3) 数列$\{q_n\}$を次のように定める． \[ q_1=1,\quad q_2=1,\quad q_{n+2}=q_{n+1}+q_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$p_n=q_{2n-1}$を示せ．
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