大阪教育大学
2010年 理系 第3問
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座標平面上で，行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$で表される移動を$f$とする．0でないすべての実数$t$に対して，点P$\displaystyle \left( t+\frac{1}{t},\ t-\frac{1}{t} \right)$が$f$により曲線$x^2-y^2=4$上に移るとき，次の問に答えよ．
(1) $a,\ b,\ c,\ d$は， \[ (a+b)^2=(c+d)^2,\quad (a-b)^2=(c-d)^2,\quad (a^2-c^2)+(d^2-b^2)=2 \] を満たすことを示せ．
(2) $a,\ b,\ c,\ d$は， \[ a^2-c^2=d^2-b^2=1,\quad ab=cd \] を満たすことを示せ．
(3) $\biggl( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \biggr)$とするとき， \[ X^2-Y^2=x^2-y^2 \] となることを示せ．
(4) 点Qが直線$y=x$上にあるとき，$f(Q)$は直線$y=x$または直線$y=-x$上にあることを示せ．
(1) $a,\ b,\ c,\ d$は， \[ (a+b)^2=(c+d)^2,\quad (a-b)^2=(c-d)^2,\quad (a^2-c^2)+(d^2-b^2)=2 \] を満たすことを示せ．
(2) $a,\ b,\ c,\ d$は， \[ a^2-c^2=d^2-b^2=1,\quad ab=cd \] を満たすことを示せ．
(3) $\biggl( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \biggr)$とするとき， \[ X^2-Y^2=x^2-y^2 \] となることを示せ．
(4) 点Qが直線$y=x$上にあるとき，$f(Q)$は直線$y=x$または直線$y=-x$上にあることを示せ．
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