半径$1$の円に内接する正$2^n$角形$(n \geqq 2)$の面積を$S_n$，周の長さを$L_n$とする．次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle S_n = 2^{n-1} \sin \frac{\pi}{2^{n-1}},\quad L_n=2^{n+1} \sin \frac{\pi}{2^n}$を示せ．
(2) $\displaystyle \frac{S_n}{S_{n+1}}= \cos \frac{\pi}{2^n},\quad \frac{S_n}{L_n}=\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2^n}$を示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n,\quad \lim_{n \to \infty} \cos \frac{\pi}{2^2}\cos \frac{\pi}{2^3} \cdots \cos \frac{\pi}{2^n}$を求めよ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}2^n \frac{S_2}{L_2}\frac{S_3}{L_3} \cdots \frac{S_n}{L_n}$を求めよ． \imgc{355_1277_2012_1}