金沢大学
2015年 理系 第4問
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$a>1$とする．無限等比級数
\[ a+ax(1-ax)+ax^2(1-ax)^2+ax^3(1-ax)^3+\cdots \]
が収束するとき，その和を$S(x)$とする．次の問いに答えよ．
(1) この無限等比級数が収束するような実数$x$の値の範囲を求めよ．また，そのときの$S(x)$を求めよ．
(2) $x$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S(x)$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3) $\displaystyle I(a)=\int_0^{\frac{1}{a}} S(x) \, dx$とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} I(a)$を求めよ．
(1) この無限等比級数が収束するような実数$x$の値の範囲を求めよ．また，そのときの$S(x)$を求めよ．
(2) $x$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S(x)$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3) $\displaystyle I(a)=\int_0^{\frac{1}{a}} S(x) \, dx$とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} I(a)$を求めよ．
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