平面上で原点Oを通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線を$\ell$とする．$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かすとき，点A$(2,\ 0)$から$\ell$へ下ろした垂線をAG，点B$(0,\ 1)$から$\ell$へ下ろした垂線をBHとし，折れ線の長さ$\text{AG}+\text{GH}+\text{HB}$を$L$とする．ただし，$\theta = 0$のときはGはAに等しく，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$のときはHはBに等しいものとする．直線$\ell$の傾きは0以上とする．
(1) $\text{GH} = 0$となるときの$\theta$の値を$\alpha$とするとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2) $L$の最小値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
(3) $L$の最大値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．